Pré-cálculo Exemplos

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y + 8 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $8 x^{2} - 32 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 8$

$b = - 32$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 8}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 32$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (8)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 16}{8}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 16$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $8$ de $- 16$ .

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $8$ de $8$ .

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 8}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 32$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 8}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $8$ .

$e = 0 - \frac{1024}{32}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $1024$ por $32$ .

$e = 0 - 1 \cdot 32$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $32$ .

$e = 0 - 32$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $32$ de $0$ .

$e = - 32$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $8 {(x - 2)}^{2} - 32$ .

$8 {(x - 2)}^{2} - 32$

Etapa 1.3

Substitua $8 {(x - 2)}^{2} - 32$ por $8 x^{2} - 32 x$ na equação $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ .

$8 {(x - 2)}^{2} - 32 + 6 y^{2} + 24 y = - 8$

Etapa 1.4

Mova $- 32$ para o lado direito da equação, somando $32$ aos dois lados.

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 y^{2} + 24 y = - 8 + 32$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $6 y^{2} + 24 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 6$

$b = 24$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot 6}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $24$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 6$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (6)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{12}{6}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $12$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $6$ de $12$ .

$d = \frac{6 \cdot 2}{6}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 6}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $24$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 6}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $6$ .

$e = 0 - \frac{576}{24}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $576$ por $24$ .

$e = 0 - 1 \cdot 24$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$e = 0 - 24$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $24$ de $0$ .

$e = - 24$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $6 {(y + 2)}^{2} - 24$ .

$6 {(y + 2)}^{2} - 24$

Etapa 1.6

Substitua $6 {(y + 2)}^{2} - 24$ por $6 y^{2} + 24 y$ na equação $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} - 24 = - 8 + 32$

Etapa 1.7

Mova $- 24$ para o lado direito da equação, somando $24$ aos dois lados.

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = - 8 + 32 + 24$

Etapa 1.8

Simplifique $- 8 + 32 + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $- 8$ e $32$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 24 + 24$

Etapa 1.8.2

Some $24$ e $24$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 48$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $48$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{8 {(x - 2)}^{2}}{48} + \frac{6 {(y + 2)}^{2}}{48} = \frac{48}{48}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{6} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{8} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = \sqrt{6}$

$k = - 2$

$h = 2$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(2, - 2)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\sqrt{8 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Etapa 5.3.4

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{8 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{8 - 6^{1}}$

Etapa 5.3.4.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 6}$

Etapa 5.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\sqrt{8 - 6}$

Etapa 5.3.5.2

Subtraia $6$ de $8$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

Etapa 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(2, - 2 - (2 \sqrt{2}))$

Etapa 6.5

Simplifique.

$(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

Etapa 6.6

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(2, - 2 + \sqrt{2})$

Etapa 7.3

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(2, - 2 - (\sqrt{2}))$

Etapa 7.5

Simplifique.

$(2, - 2 - \sqrt{2})$

Etapa 7.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.5

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{8 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{8 - 6^{1}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.5.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 6}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.1.7

Subtraia $6$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(2, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

Excentricidade: $\frac{1}{2}$

Etapa 10