Pré-cálculo Exemplos

$f (θ) = 4 \cos (3 θ)$

Etapa 1

Use a forma $a \cos (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 4$

$b = 3$

$c = 0$

$d = 0$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $4$

Etapa 3

Encontre o período de $4 \cos (3 x)$ .

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Etapa 3.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Etapa 3.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{0}{3}$

Etapa 4.3

Divida $0$ por $3$ .

Mudança de fase: $0$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $4$

Período: $\frac{2 π}{3}$

Mudança de fase: nenhuma

Deslocamento vertical: nenhum

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

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Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = 0$ .

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Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 4 \cos (3 (0))$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.1.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (0) = 4 \cos (0)$

Etapa 6.1.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 1$

Etapa 6.1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (0) = 4$

Etapa 6.1.2.4

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = \frac{π}{6}$ .

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Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 4 \cos (3 (\frac{π}{6}))$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 4 \cos (3 (\frac{π}{3 (2)}))$

Etapa 6.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = 4 \cos (3 (\frac{π}{3 \cdot 2}))$

Etapa 6.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 4 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 6.2.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = 4 \cdot 0$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = 0$

Etapa 6.2.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = \frac{π}{3}$ .

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Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{π}{3}) = 4 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{3}) = 4 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Etapa 6.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{3}) = 4 \cos (π)$

Etapa 6.3.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{π}{3}) = 4 (- \cos (0))$

Etapa 6.3.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 6.3.2.4

Multiplique $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 6.3.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 4 \cdot - 1$

Etapa 6.3.2.4.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 4$

Etapa 6.3.2.5

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 4 \cos (3 (\frac{π}{2}))$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.4.2.1

Combine $3$ e $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 4 \cos (\frac{3 π}{2})$

Etapa 6.4.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{π}{2}) = 4 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 6.4.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 4 \cdot 0$

Etapa 6.4.2.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Etapa 6.4.2.5

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 6.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (2 π)$

Etapa 6.5.2.2

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (0)$

Etapa 6.5.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 1$

Etapa 6.5.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4$

Etapa 6.5.2.5

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 4 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 4 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 4 \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $4$

Período: $\frac{2 π}{3}$

Mudança de fase: nenhuma

Deslocamento vertical: nenhum

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 4 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 4 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 4 \end{array}$

Etapa 8