Pré-cálculo Exemplos

$- 3 \sqrt{2} + 3 i \sqrt{2}$

Etapa 1

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 2

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a = - 3 \sqrt{2}$ e $b = 3 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(3 \sqrt{2})}^{2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4

Encontre $| z |$ .

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Etapa 4.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{9 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2 + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{9 \cdot 2 + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $9$ por $2$ .

$| z | = \sqrt{18 + {(- 3 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Aplique a regra do produto a $- 3 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{18 + {(- 3)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{18 + 9 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 4.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{18 + 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2}$

Etapa 4.4.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{18 + 9 \cdot 2}$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $9$ por $2$ .

$| z | = \sqrt{18 + 18}$

Etapa 4.5.2

Some $18$ e $18$ .

$| z | = \sqrt{36}$

Etapa 4.5.3

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$| z | = \sqrt{6^{2}}$

Etapa 4.5.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 6$

Etapa 5

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{3 \sqrt{2}}{- 3 \sqrt{2}})$

Etapa 6

Como a tangente inversa de $\frac{3 \sqrt{2}}{- 3 \sqrt{2}}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 7

Substitua os valores de $θ = \frac{3 π}{4}$ e $| z | = 6$ .

$6 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$