Pré-cálculo Exemplos

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1$

Etapa 1

Subtraia $\frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ dos dois lados da equação.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Etapa 2

Divida ${(y - 3)}^{2}$ por $1$ .

${(y - 3)}^{2} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Etapa 3

Simplifique $1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ .

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Etapa 3.1

Combine em uma fração.

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Etapa 3.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4}{4} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Etapa 3.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4 - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{2^{2} - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Etapa 3.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x - 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(2 + x - 2) (2 - (x - 2))}{4}$

Etapa 3.2.3

Simplifique.

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Etapa 3.2.3.1

Subtraia $2$ de $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(x + 0) (2 - (x - 2))}{4}$

Etapa 3.2.3.2

Some $x$ e $0$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - (x - 2))}{4}$

Etapa 3.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x - - 2)}{4}$

Etapa 3.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x + 2)}{4}$

Etapa 3.2.3.5

Some $2$ e $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- x + 4)}{4}$

Etapa 3.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.3.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) + 4)}{4}$

Etapa 3.3.2

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{4}$

Etapa 3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x - 4))}{4}$

Etapa 3.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.4.1

Reescreva $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- 1 (x - 4))}{4}$

Etapa 3.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

${(y - 3)}^{2} = - \frac{x (x - 4)}{4}$

Etapa 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva $- \frac{x (x - 4)}{4}$ como ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $x (x - 4)$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{4}}$

Etapa 5.1.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}}$

Etapa 5.1.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (x (x - 4)))}$

Etapa 5.1.4

Reordene $- 1$ e ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Etapa 5.1.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Etapa 5.1.6

Adicione parênteses.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (x (x - 4))}$

Etapa 5.1.7

Adicione parênteses.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))}$

Etapa 5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$y - 3 = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Etapa 5.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$y - 3 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Etapa 5.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{- x (x - 4)}$ .

$y - 3 = \pm \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y - 3 = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Etapa 6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Etapa 6.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y - 3 = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Etapa 6.4

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Etapa 6.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{- x (x - 4)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- x (x - 4) \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 8.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 8.3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.3.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 8.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 8.4

A solução final são todos os valores que tornam $- x (x - 4) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4$

Etapa 8.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 8.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 8.6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$2 ((- 2) - 4) \geq 0$

Etapa 8.6.1.3

O lado esquerdo $- 12$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 8.6.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$- 2 ((2) - 4) \geq 0$

Etapa 8.6.2.3

O lado esquerdo $4$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 8.6.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$- 6 ((6) - 4) \geq 0$

Etapa 8.6.3.3

O lado esquerdo $- 12$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 8.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x \leq 4$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[0, 4]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | 0 \leq x \leq 4}$

Etapa 10

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[2, 4]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | 2 \leq y \leq 4}$

Etapa 11

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[0, 4], {x | 0 \leq x \leq 4}$

Intervalo: $[2, 4], {y | 2 \leq y \leq 4}$

Etapa 12