Pré-cálculo Exemplos

$\frac{- 5 x^{2} - 30 x - 21}{x^{2} + 7 x}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore $x$ de $x^{2} + 7 x$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 30 x - 21}{x \cdot x + 7 x}$

Etapa 1.1.2

Fatore $x$ de $7 x$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 30 x - 21}{x \cdot x + x \cdot 7}$

Etapa 1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 7$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 30 x - 21}{x (x + 7)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 7}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x + 7)$ .

$\frac{(- 5 x^{2} - 30 x - 21) (x (x + 7))}{x (x + 7)} = \frac{A (x (x + 7))}{x} + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- 5 x^{2} - 30 x - 21) (x (x + 7))}{x (x + 7)} = \frac{A (x (x + 7))}{x} + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 5 x^{2} - 30 x - 21) (x + 7)}{x + 7} = \frac{A (x (x + 7))}{x} + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x + 7$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- 5 x^{2} - 30 x - 21) (x + 7)}{x + 7} = \frac{A (x (x + 7))}{x} + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Etapa 1.5.2

Divida $- 5 x^{2} - 30 x - 21$ por $1$ .

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = \frac{A (x (x + 7))}{x} + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = \frac{A (x (x + 7))}{x} + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $A (x + 7)$ por $1$ .

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A (x + 7) + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A x + A \cdot 7 + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Etapa 1.6.3

Mova $7$ para a esquerda de $A$ .

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A x + 7 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de $x + 7$ .

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Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A x + 7 A + \frac{B (x (x + 7))}{x + 7}$

Etapa 1.6.4.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A x + 7 A + (B) (x)$

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A x + 7 A + B x$

Etapa 1.7

Mova $7 A$ .

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A x + B x + 7 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 30 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 21 = 7 A$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$- 30 = A + B$

$- 21 = 7 A$

$- 30 = A + B$

$- 21 = 7 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $- 21 = 7 A$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $7 A = - 21$ .

$7 A = - 21$

$- 30 = A + B$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $7 A = - 21$ por $7$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $7 A = - 21$ por $7$ .

$\frac{7 A}{7} = \frac{- 21}{7}$

$- 30 = A + B$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 A}{7} = \frac{- 21}{7}$

$- 30 = A + B$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 21}{7}$

$- 30 = A + B$

$A = \frac{- 21}{7}$

$- 30 = A + B$

$A = \frac{- 21}{7}$

$- 30 = A + B$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.2.3.1

Divida $- 21$ por $7$ .

$A = - 3$

$- 30 = A + B$

$A = - 3$

$- 30 = A + B$

$A = - 3$

$- 30 = A + B$

$A = - 3$

$- 30 = A + B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 3$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 30 = A + B$ por $- 3$ .

$- 30 = (- 3) + B$

$A = - 3$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$- 30 = - 3 + B$

$A = - 3$

$- 30 = - 3 + B$

$A = - 3$

$- 30 = - 3 + B$

$A = - 3$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $- 30 = - 3 + B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 3 + B = - 30$ .

$- 3 + B = - 30$

$A = - 3$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$B = - 30 + 3$

$A = - 3$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 30$ e $3$ .

$B = - 27$

$A = - 3$

$B = - 27$

$A = - 3$

$B = - 27$

$A = - 3$

Etapa 3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - 27 A = - 3$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$B = - 27, A = - 3$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 7}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$- \frac{3}{x} + \frac{- 27}{x + 7}$