Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x^{2}}{100}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{100}$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Etapa 3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $64$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$ .

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

Etapa 3.2.1.1.2

Multiplique $64$ por $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

Etapa 3.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.1.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{100}$ para o numerador.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{100}$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Fatore $4$ de $64$ .

$y^{2} = 64 + 4 (16) \frac{- x^{2}}{100}$

Etapa 3.2.1.1.3.3

Fatore $4$ de $100$ .

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

Etapa 3.2.1.1.3.4

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

Etapa 3.2.1.1.3.5

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 64 + 16 \frac{- x^{2}}{25}$

Etapa 3.2.1.1.4

Combine $16$ e $\frac{- x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{16 (- x^{2})}{25}$

Etapa 3.2.1.1.5

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 16 x^{2}}{25}$

Etapa 3.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = 64 - \frac{16 x^{2}}{25}$

Etapa 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$ .

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Etapa 5.1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 5.1.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2} - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Etapa 5.1.2

Reescreva $\frac{16 x^{2}}{25}$ como ${(\frac{4 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2} - {(\frac{4 x}{5})}^{2}}$

Etapa 5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 8$ e $b = \frac{4 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Etapa 5.3

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Etapa 5.4

Simplifique os termos.

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Etapa 5.4.1

Combine $8$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 \cdot 5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Etapa 5.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot 5 + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Etapa 5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.1

Fatore $4$ de $8 \cdot 5 + 4 x$ .

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Etapa 5.5.1.1

Fatore $4$ de $8 \cdot 5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Etapa 5.5.1.2

Fatore $4$ de $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Etapa 5.5.1.3

Fatore $4$ de $4 (2 \cdot 5) + 4 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Etapa 5.6

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Etapa 5.7

Simplifique os termos.

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Etapa 5.7.1

Combine $8$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (\frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Etapa 5.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{8 \cdot 5 - 4 x}{5}}$

Etapa 5.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.8.1

Fatore $4$ de $8 \cdot 5 - 4 x$ .

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Etapa 5.8.1.1

Fatore $4$ de $8 \cdot 5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) - 4 x}{5}}$

Etapa 5.8.1.2

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)}{5}}$

Etapa 5.8.1.3

Fatore $4$ de $4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5 - x)}{5}}$

Etapa 5.8.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (10 - x)}{5}}$

Etapa 5.9

Combine frações.

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Etapa 5.9.1

Multiplique $\frac{4 (10 + x)}{5}$ por $\frac{4 (10 - x)}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x) (4 (10 - x))}{5 \cdot 5}}$

Etapa 5.9.2

Multiplique.

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Etapa 5.9.2.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{5 \cdot 5}}$

Etapa 5.9.2.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}}$

Etapa 5.10

Reescreva $\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}$ como ${(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))$ .

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Etapa 5.10.1

Fatore a potência perfeita ${(2^{2})}^{2}$ de $16 (10 + x) (10 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{25}}$

Etapa 5.10.2

Fatore a potência perfeita $5^{2}$ de $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Etapa 5.10.3

Reorganize a fração $\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}$

Etapa 5.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{2^{2}}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

Etapa 5.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \pm \frac{4}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

Etapa 5.13

Combine $\frac{4}{5}$ e $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(10 + x) (10 - x) \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$10 + x = 0$

$10 - x = 0$

Etapa 8.2

Defina $10 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Defina $10 + x$ como igual a $0$ .

$10 + x = 0$

Etapa 8.2.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$x = - 10$

Etapa 8.3

Defina $10 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.3.1

Defina $10 - x$ como igual a $0$ .

$10 - x = 0$

Etapa 8.3.2

Resolva $10 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 8.3.2.1

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$- x = - 10$

Etapa 8.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 10$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 8.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 10$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 10}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 10}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.2.2.3.1

Divida $- 10$ por $- 1$ .

$x = 10$

Etapa 8.4

A solução final são todos os valores que tornam $(10 + x) (10 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 10, 10$

Etapa 8.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 10$

$- 10 < x < 10$

$x > 10$

Etapa 8.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 10$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 10$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 12$

Etapa 8.6.1.2

Substitua $x$ por $- 12$ na desigualdade original.

$(10 - 12) (10 - (- 12)) \geq 0$

Etapa 8.6.1.3

O lado esquerdo $- 44$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.2

Teste um valor no intervalo $- 10 < x < 10$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 10 < x < 10$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(10 + 0) (10 - (0)) \geq 0$

Etapa 8.6.2.3

O lado esquerdo $100$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 10$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 10$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 12$

Etapa 8.6.3.2

Substitua $x$ por $12$ na desigualdade original.

$(10 + 12) (10 - (12)) \geq 0$

Etapa 8.6.3.3

O lado esquerdo $- 44$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 10$ Falso

$- 10 < x < 10$ Verdadeiro

$x > 10$ Falso

$x < - 10$ Falso

$- 10 < x < 10$ Verdadeiro

$x > 10$ Falso

Etapa 8.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 10 \leq x \leq 10$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 10, 10]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 10 \leq x \leq 10}$

Etapa 10

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[- 8, 8]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Etapa 11

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $[- 10, 10], {x | - 10 \leq x \leq 10}$

Intervalo: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Etapa 12