Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Etapa 2

Subtraia frações.

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{1}{1 + \cos (θ)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ por $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{1}{1 + \cos (θ)}$ por $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + \cos (θ) - (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 \cdot 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 3.1.3

Multiplique $- - \cos (θ)$ .

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Etapa 3.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + 1 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 3.1.3.2

Multiplique $\cos (θ)$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 3.4

Some $\cos (θ)$ e $\cos (θ)$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Expanda $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Etapa 6

Reescreva $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$ como $2 \cot (θ) \csc (θ)$ .

$2 \cot (θ) \csc (θ)$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$ é uma identidade