Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} + 27 i = 0$

Etapa 1

Subtraia $27 i$ dos dois lados da equação.

$x^{3} = - 27 i$

Etapa 2

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 3

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 4

Substitua os valores reais de $a = 0$ e $b = - 27$ .

$| z | = \sqrt{{(- 27)}^{2}}$

Etapa 5

Encontre $| z |$ .

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Etapa 5.1

Eleve $- 27$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{729}$

Etapa 5.2

Reescreva $729$ como $27^{2}$ .

$| z | = \sqrt{27^{2}}$

Etapa 5.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 27$

Etapa 6

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- 27}{0})$

Etapa 7

Como o argumento é indefinido e $b$ é negativo, o ângulo do ponto no plano complexo é $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 8

Substitua os valores de $θ = \frac{3 π}{2}$ e $| z | = 27$ .

$27 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 9

Substitua o lado direito da equação pela forma trigonométrica.

$x^{3} = 27 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$