Pré-cálculo Exemplos

$y = 3 \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sin (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$3 \cos (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin (x))$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 \cos (x) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $3 \cos (x) = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $3 \cos (x) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{3}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 5

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 7

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 8

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 8.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 8.2

Combine frações.

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Etapa 8.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 8.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 8.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 9

A solução para a equação $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 3 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 3 \cdot 1$

Etapa 11.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Etapa 12

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1$

Etapa 13.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Etapa 13.2.3

A resposta final é $3$ .

$y = 3$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 15.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 15.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 3 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 15.3

Multiplique $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 15.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 3 \cdot - 1$

Etapa 15.3.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$3$

Etapa 16

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 17

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Etapa 17.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 17.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 17.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 17.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 17.2.3

Multiplique $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 17.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cdot - 1$

Etapa 17.2.3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3$

Etapa 17.2.4

A resposta final é $- 3$ .

$y = - 3$

Etapa 18

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 3)$ é um máximo local

$(\frac{3 π}{2}, - 3)$ é um mínimo local

Etapa 19