Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (x)$

Etapa 1

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\cos (x) = 0$

Etapa 4

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 7

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 7.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 7.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 7.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 7.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 8

A solução para a equação $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 10.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 11

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Etapa 12.2.2

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 14.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Etapa 14.3

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 14.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- - 1$

Etapa 14.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Etapa 15

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 16.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Etapa 16.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Etapa 16.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 1)$ é um máximo local

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ é um mínimo local

Etapa 18