Pré-cálculo Exemplos

$y = \cos (2 x)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \cos (2 y)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\cos (2 y) = x$ .

$\cos (2 y) = x$

Etapa 2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do cosseno.

$2 y = \arccos (x)$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 y = \arccos (x)$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 y = \arccos (x)$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arccos (x)}{2}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ é o inverso de $f (x) = \cos (2 x)$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\cos (2 x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (2 x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{\arccos (x)}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\arccos (x))$

Etapa 4.3.4

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ é o inverso de $f (x) = \cos (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$