Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 10 x + 25}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Etapa 1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Etapa 1.1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Etapa 1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{x^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{B}{x + 5}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 5)}^{2}}{x + 5}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de ${(x + 5)}^{2}$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 5)}^{2}}{x + 5}$

Etapa 1.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 5)}^{2}}{x + 5}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de ${(x + 5)}^{2}$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{A {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 5)}^{2}}{x + 5}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$x^{2} = A + \frac{(B) {(x + 5)}^{2}}{x + 5}$

Etapa 1.6.2

Cancele o fator comum de ${(x + 5)}^{2}$ e $x + 5$ .

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Etapa 1.6.2.1

Fatore $x + 5$ de $(B) {(x + 5)}^{2}$ .

$x^{2} = A + \frac{(x + 5) (B (x + 5))}{x + 5}$

Etapa 1.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.6.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$x^{2} = A + \frac{(x + 5) (B (x + 5))}{(x + 5) \cdot 1}$

Etapa 1.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = A + \frac{(x + 5) (B (x + 5))}{(x + 5) \cdot 1}$

Etapa 1.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = A + \frac{B (x + 5)}{1}$

Etapa 1.6.2.2.4

Divida $B (x + 5)$ por $1$ .

$x^{2} = A + B (x + 5)$

Etapa 1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = A + B x + B \cdot 5$

Etapa 1.6.4

Mova $5$ para a esquerda de $B$ .

$x^{2} = A + B x + 5 B$

Etapa 1.7

Reordene $A$ e $B x$ .

$x^{2} = B x + A + 5 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + 5 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = B$

$0 = A + 5 B$

$0 = B$

$0 = A + 5 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $B = 0$ .

$B = 0$

$0 = A + 5 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $0 = A + 5 B$ por $0$ .

$0 = A + 5 (0)$

$B = 0$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $A + 5 (0)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$0 = A + 0$

$B = 0$

Etapa 3.2.2.1.2

Some $A$ e $0$ .

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

Etapa 3.3

Reescreva a equação como $A = 0$ .

$A = 0$

$B = 0$

Etapa 3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = 0 B = 0$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = 0, B = 0$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{B}{x + 5}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{0}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{0}{x + 5}$