Pré-cálculo Exemplos

$y = \sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cos (4 x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Etapa 3.2.2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Etapa 3.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Etapa 3.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Etapa 3.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Etapa 3.2.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $4 x$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\cos (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $- \sin (u_{3})$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $4 x$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 3.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \cdot 4)$

Etapa 3.3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- 4 \sin (4 x))$

Etapa 3.3.7

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4}{2} \sin (4 x)$

Etapa 3.3.8

Combine $\frac{- 4}{2}$ e $\sin (4 x)$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4 \sin (4 x)}{2}$

Etapa 3.3.9

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 3.3.9.1

Fatore $2$ de $- 4 \sin (4 x)$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2}$

Etapa 3.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.9.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 (1)}$

Etapa 3.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 2 \sin (4 x)}{1}$

Etapa 3.3.9.2.4

Divida $- 2 \sin (4 x)$ por $1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$