Pré-cálculo Exemplos

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1

Use a definição de secante para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\sec (θ) = \frac{hipotenusa}{adjacente}$

Etapa 2

Encontre o lado oposto do triângulo de círculo unitário. Como o lado adjacente e a hipotenusa são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Oposto = \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {adjacente}^{2}}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Oposto = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique dentro do radical.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

Oposto $= \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

Oposto $= \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(3)}^{2}}$

Etapa 4.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 4.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

Oposto $= \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Oposto $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

Oposto $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

Oposto $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3)}^{2}}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

Oposto $= \sqrt{4 \cdot 3 - {(3)}^{2}}$

Etapa 4.3.5

Avalie o expoente.

Oposto $= \sqrt{4 \cdot 3 - {(3)}^{2}}$

Etapa 4.4

Multiplique $4$ por $3$ .

Oposto $= \sqrt{12 - {(3)}^{2}}$

Etapa 4.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

Oposto $= \sqrt{12 - 1 \cdot 9}$

Etapa 4.6

Multiplique $- 1$ por $9$ .

Oposto $= \sqrt{12 - 9}$

Etapa 4.7

Subtraia $9$ de $12$ .

Oposto $= \sqrt{3}$

Etapa 5

Encontre o valor do seno.

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Etapa 5.1

Use a definição de seno para encontrar o valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $\sqrt{3}$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Encontre o valor do cosseno.

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Etapa 6.1

Use a definição de cosseno para encontrar o valor de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cos (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Etapa 6.3

Simplifique o valor de $\cos (θ)$ .

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 6.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 6.3.2.2

Mova $\sqrt{3}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Etapa 6.3.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Etapa 6.3.2.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Etapa 6.3.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.3.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 6.3.2.7

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 6.3.2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.3.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.3.2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.3.2.7.5

Avalie o expoente.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7

Encontre o valor da tangente.

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Etapa 7.1

Use a definição de tangente para encontrar o valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 8

Encontre o valor da cotangente.

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Etapa 8.1

Use a definição de cotangente para encontrar o valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cot (θ) = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3

Simplifique o valor de $\cot (θ)$ .

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Etapa 8.3.1

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.3.2.1

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 8.3.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 8.3.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 8.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 8.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 8.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 8.3.2.6.5

Avalie o expoente.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 8.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 8.3.3.2

Divida $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

Etapa 9

Encontre o valor da cossecante.

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Etapa 9.1

Use a definição de cossecante para encontrar o valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $\sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 9.3.2

Divida $2$ por $1$ .

$\csc (θ) = 2$

Etapa 10

Esta é a solução para cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (θ) = 2$