Pré-cálculo Exemplos

$9 x^{4} - 97 x^{2} + 144 \leq 0$

Etapa 1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$9 u^{2} - 97 u + 144 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot 144 = 1296$ e cuja soma é $b = - 97$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $- 97$ de $- 97 u$ .

$9 u^{2} - 97 u + 144 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 97$ como $- 16$ mais $- 81$

$9 u^{2} + (- 16 - 81) u + 144 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 u^{2} - 16 u - 81 u + 144 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(9 u^{2} - 16 u) - 81 u + 144 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (9 u - 16) - 9 (9 u - 16) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 u - 16$ .

$(9 u - 16) (u - 9) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$9 u - 16 = 0$

$u - 9 = 0$

Etapa 4

Defina $9 u - 16$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $9 u - 16$ como igual a $0$ .

$9 u - 16 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $9 u - 16 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$9 u = 16$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $9 u = 16$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $9 u = 16$ por $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{16}{9}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 u}{9} = \frac{16}{9}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{16}{9}$

Etapa 5

Defina $u - 9$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $u - 9$ como igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

Etapa 5.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$u = 9$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(9 u - 16) (u - 9) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{16}{9}, 9$

Etapa 7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = \frac{16}{9}$

${(x^{2})}^{1} = 9$

Etapa 8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = \frac{16}{9}$

Etapa 9

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{9}}$

Etapa 9.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{16}{9}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{16}{9}}$ como $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{9}}$

Etapa 9.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{9}}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 9.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{4}{3}$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{4}{3}$

Etapa 9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{4}{3}$

Etapa 9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{4}{3}, - \frac{4}{3}$

Etapa 10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 9$

Etapa 11

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 9$

Etapa 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 11.3

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 11.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 12

A solução para $9 x^{4} - 97 x^{2} + 144 = 0$ é $x = \frac{4}{3}, - \frac{4}{3}, 3, - 3$ .

$x = \frac{4}{3}, - \frac{4}{3}, 3, - 3$

Etapa 13

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$

$\frac{4}{3} < x < 3$

$x > 3$

Etapa 14

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 14.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$9 {(- 6)}^{4} - 97 {(- 6)}^{2} + 144 \leq 0$

Etapa 14.1.3

O lado esquerdo $8316$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < - \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < - \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 14.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$9 {(- 2)}^{4} - 97 {(- 2)}^{2} + 144 \leq 0$

Etapa 14.2.3

O lado esquerdo $- 100$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.3

Teste um valor no intervalo $- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 14.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$9 {(0)}^{4} - 97 {(0)}^{2} + 144 \leq 0$

Etapa 14.3.3

O lado esquerdo $144$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.4

Teste um valor no intervalo $\frac{4}{3} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{4}{3} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 14.4.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$9 {(2)}^{4} - 97 {(2)}^{2} + 144 \leq 0$

Etapa 14.4.3

O lado esquerdo $- 100$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.5

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 14.5.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$9 {(6)}^{4} - 97 {(6)}^{2} + 144 \leq 0$

Etapa 14.5.3

O lado esquerdo $8316$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - \frac{4}{3}$ Verdadeiro

$- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$ Falso

$\frac{4}{3} < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < - \frac{4}{3}$ Verdadeiro

$- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$ Falso

$\frac{4}{3} < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 15

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 \leq x \leq - \frac{4}{3}$ ou $\frac{4}{3} \leq x \leq 3$

Etapa 16

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 3, - \frac{4}{3}] \cup [\frac{4}{3}, 3]$

Etapa 17