Pré-cálculo Exemplos

$x^{3} + 4 x^{2} \geq 4 x + 16$

Etapa 1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x \geq 16$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x = 16$

Etapa 3

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16 = 0$

Etapa 4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} + 4 x^{2}) - 4 x - 16 = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x + 4) - 4 (x + 4) = 0$

Etapa 4.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 4.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 4) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 4.4

Fatore.

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Etapa 4.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 4) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 4.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 6

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 7

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 8

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, - 2, 2$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{3} + 4 {(- 6)}^{2} \geq 4 (- 6) + 16$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 72$ é menor do que o lado direito $- 8$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

${(- 3)}^{3} + 4 {(- 3)}^{2} \geq 4 (- 3) + 16$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $9$ é maior do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} \geq 4 (0) + 16$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $16$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} \geq 4 (4) + 16$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $128$ é maior do que o lado direito $32$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 \leq x \leq - 2$ ou $x \geq 2$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 4, - 2] \cup [2, \infty)$

Etapa 14