Pré-cálculo Exemplos

$\sqrt{\frac{2 x}{x + 8} - 1}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{2 x}{x + 8} - 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{2 x}{x + 8} - 1 \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Simplifique $\frac{2 x}{x + 8} - 1$ .

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Etapa 2.1.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$\frac{2 x}{x + 8} - 1 \cdot \frac{x + 8}{x + 8} \geq 0$

Etapa 2.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1.2.1

Combine $- 1$ e $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$\frac{2 x}{x + 8} + \frac{- (x + 8)}{x + 8} \geq 0$

Etapa 2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x - (x + 8)}{x + 8} \geq 0$

Etapa 2.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x - x - 1 \cdot 8}{x + 8} \geq 0$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{2 x - x - 8}{x + 8} \geq 0$

Etapa 2.1.3.3

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$\frac{x - 8}{x + 8} \geq 0$

Etapa 2.2

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 8 = 0$

$x + 8 = 0$

Etapa 2.3

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 2.4

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 2.5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 8$

$x = - 8$

Etapa 2.6

Consolide as soluções.

$x = 8, - 8$

Etapa 2.7

Encontre o domínio de $\frac{2 x}{x + 8} - 1$ .

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Etapa 2.7.1

Defina o denominador em $\frac{2 x}{x + 8}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 8 = 0$

Etapa 2.7.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 2.7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, \infty)$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 8$

$- 8 < x < 8$

$x > 8$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 10)}{(- 10) + 8} - 1 \geq 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $9$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $- 8 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 8 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{2 (0)}{(0) + 8} - 1 \geq 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 2.9.3.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$\frac{2 (10)}{(10) + 8} - 1 \geq 0$

Etapa 2.9.3.3

O lado esquerdo $0.\overline{1}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 8$ Verdadeiro

$- 8 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Verdadeiro

$x < - 8$ Verdadeiro

$- 8 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Verdadeiro

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 8$ ou $x \geq 8$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{2 x}{x + 8}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 8 = 0$

Etapa 4

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 8) \cup [8, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < - 8, x \geq 8}$

Etapa 6