Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Etapa 1

Defina $9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$ como igual a $0$ .

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $- x$ de $- 9 x^{3} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $- x$ de $- 9 x^{3}$ .

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $- x$ de $4 x$ .

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $- x$ de $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ .

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 2.1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 x$ e $b = 2$ .

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 2.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 2.1.6

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Etapa 2.1.7

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Etapa 2.1.8

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.8.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ e cuja soma é $b = - 58$ .

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Etapa 2.1.8.1.1

Fatore $- 58$ de $- 58 u$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Etapa 2.1.8.1.2

Reescreva $- 58$ como $- 4$ mais $- 54$

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

Etapa 2.1.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Etapa 2.1.8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Etapa 2.1.8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

Etapa 2.1.8.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 u - 4$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

Etapa 2.1.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.1.10

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.1.11

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.1.12

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 x$ e $b = 2$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.1.13

Fatore $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

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Etapa 2.1.13.1

Fatore $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.1.13.2

Fatore $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.1.14

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.1.15

Fatore $- u + u^{2} - 6$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.15.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 2.1.15.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

Etapa 2.1.16

Fatore.

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Etapa 2.1.16.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.1.16.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.3

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 2.3.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 2.4

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $3 x - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$3 x = 2$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Etapa 2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.6

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

Etapa 3