Pré-cálculo Exemplos

$(\cot (θ) + \tan (θ)) \cos (θ) = \csc (θ)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$(\cot (θ) + \tan (θ)) \cos (θ)$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\cot (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \tan (θ)) \cos (θ)$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\tan (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}) \cos (θ)$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cos (θ)$ .

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Etapa 2.3.1

Combine $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ e $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Etapa 2.3.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Etapa 2.3.3

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Etapa 2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Etapa 2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $\cos (θ)$ .

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Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ)$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} + \sin (θ)$

Etapa 3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$\frac{1 - \sin^{2} (θ)}{\sin (θ)} + \sin (θ)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}{\sin (θ)} + \sin (θ)$

Etapa 4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \sin (θ)$ .

$\frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)} + \sin (θ)$

Etapa 4.2

Para escrever $\sin (θ)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ)) + \sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

$\frac{1}{\sin (θ)}$

Etapa 5

Reescreva $\frac{1}{\sin (θ)}$ como $\csc (θ)$ .

$\csc (θ)$

Etapa 6

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$(\cot (θ) + \tan (θ)) \cos (θ) = \csc (θ)$ é uma identidade