Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{4} - 25 x^{2} + 36 \leq 0$

Etapa 1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$4 u^{2} - 25 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot 36 = 144$ e cuja soma é $b = - 25$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $- 25$ de $- 25 u$ .

$4 u^{2} - 25 u + 36 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 25$ como $- 9$ mais $- 16$

$4 u^{2} + (- 9 - 16) u + 36 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 u^{2} - 9 u - 16 u + 36 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 u^{2} - 9 u) - 16 u + 36 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (4 u - 9) - 4 (4 u - 9) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 9$ .

$(4 u - 9) (u - 4) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

Etapa 4

Defina $4 u - 9$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.1

Defina $4 u - 9$ como igual a $0$ .

$4 u - 9 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $4 u - 9 = 0$ para $u$ .

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Etapa 4.2.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$4 u = 9$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $4 u = 9$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $4 u = 9$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{9}{4}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 u}{4} = \frac{9}{4}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{9}{4}$

Etapa 5

Defina $u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.1

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Etapa 5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(4 u - 9) (u - 4) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{9}{4}, 4$

Etapa 7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = \frac{9}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Etapa 8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = \frac{9}{4}$

Etapa 9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$

Etapa 9.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{9}{4}}$ .

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Etapa 9.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{9}{4}}$ como $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 9.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{4}}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 9.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{3}{2}$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{3}{2}$

Etapa 9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}$

Etapa 10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Etapa 11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 4$

Etapa 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 11.3

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 11.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 11.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 12

A solução para $4 x^{4} - 25 x^{2} + 36 = 0$ é $x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 2, - 2$ .

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 2, - 2$

Etapa 13

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < x < 2$

$x > 2$

Etapa 14

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 14.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 14.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$4 {(- 4)}^{4} - 25 {(- 4)}^{2} + 36 \leq 0$

Etapa 14.1.3

O lado esquerdo $660$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1.75$

Etapa 14.2.2

Substitua $x$ por $- 1.75$ na desigualdade original.

$4 {(- 1.75)}^{4} - 25 {(- 1.75)}^{2} + 36 \leq 0$

Etapa 14.2.3

O lado esquerdo $- 3.046875$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.3

Teste um valor no intervalo $- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.3.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 14.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$4 {(0)}^{4} - 25 {(0)}^{2} + 36 \leq 0$

Etapa 14.3.3

O lado esquerdo $36$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.4

Teste um valor no intervalo $\frac{3}{2} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.4.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3}{2} < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.75$

Etapa 14.4.2

Substitua $x$ por $1.75$ na desigualdade original.

$4 {(1.75)}^{4} - 25 {(1.75)}^{2} + 36 \leq 0$

Etapa 14.4.3

O lado esquerdo $- 3.046875$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 14.5

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 14.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 14.5.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$4 {(4)}^{4} - 25 {(4)}^{2} + 36 \leq 0$

Etapa 14.5.3

O lado esquerdo $660$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 14.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ Falso

$\frac{3}{2} < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < - \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ Falso

$\frac{3}{2} < x < 2$ Verdadeiro

$x > 2$ Falso

Etapa 15

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 2 \leq x \leq - \frac{3}{2}$ ou $\frac{3}{2} \leq x \leq 2$

Etapa 16

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 2, - \frac{3}{2}] \cup [\frac{3}{2}, 2]$

Etapa 17