Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 9 x}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} - 9 x}{3 x^{2} - 6 x - 9}$ é indefinida.

$x = - 1, x = 3$

Etapa 2

$\frac{x^{3} - 9 x}{3 x^{2} - 6 x - 9}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - 9 x}{3 x^{2} - 6 x - 9}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 1$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 9 x$ .

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Etapa 6.1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 9 x}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 6.1.1.1.2

Fatore $x$ de $- 9 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 6.1.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$\frac{x (x^{2} - 9)}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 6.1.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 3^{2})}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 6.1.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 6 x - 9$ .

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Etapa 6.1.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 (x^{2}) - 6 x - 9}$

Etapa 6.1.2.1.2

Fatore $3$ de $- 6 x$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) - 9}$

Etapa 6.1.2.1.3

Fatore $3$ de $- 9$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 3}$

Etapa 6.1.2.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 3}$

Etapa 6.1.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 (x^{2} - 2 x - 3)}$

Etapa 6.1.2.2

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.2.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 6.1.2.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 ((x - 3) (x + 1))}$

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 (x - 3) (x + 1)}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 3) (x - 3)}{3 (x - 3) (x + 1)}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x (x + 3)}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2

Expanda $x (x + 3)$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2.2

Reordene $x$ e $3$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 3 x}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} + 3 x}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x}{3 (x + 1)}$

Etapa 6.3

Expanda $3 (x + 1)$ .

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Etapa 6.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x}{3 x + 3}$

Etapa 6.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$3 x$

$0$

Etapa 6.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$

Etapa 6.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 6.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 6.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$

Etapa 6.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$

Etapa 6.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$

Etapa 6.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$
					+	$2 x$	+	$2$

Etapa 6.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x + 2$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$
					-	$2 x$	-	$2$

Etapa 6.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$3 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x$	+	$0$
					-	$2 x$	-	$2$
							-	$2$

Etapa 6.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3 x + 3}$

Etapa 6.15

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{3} + \frac{- 2 x + 6}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 6.16

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 1$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 8