Pré-cálculo Exemplos

$y = 4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{6}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{6}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$4 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $6$ por $4$ .

$24 x^{5} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$24 x^{5} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$24 x^{5} + 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $3$ por $- 7$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Etapa 1.5.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.5.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.6.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + 0$

Etapa 1.6.2

Some $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ e $0$ .

$f' (x) = 24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{5}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{5}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$24 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $5$ por $24$ .

$120 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{4}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$120 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$120 x^{4} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $4$ por $15$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 21$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 21 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $- 21$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \cdot 1$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$f'' (x) = 120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [120 x^{4}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $120 x^{4}$ em relação a $x$ é $120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $4$ por $120$ .

$480 x^{3} + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60 x^{3}$ em relação a $x$ é $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$480 x^{3} + 60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$480 x^{3} + 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $3$ por $60$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 42 x$ em relação a $x$ é $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 42$ por $1$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.5.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10$ em relação a $x$ é $0$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + 0$

Etapa 3.5.2

Some $480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$ e $0$ .

$f''' (x) = 480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$