Pré-cálculo Exemplos

${(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2} + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 1

Reescreva ${(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$ como $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ .

$(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ)) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 2

Expanda $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Etapa 3.1.1.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 3.1.1.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 3.1.2.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 3.1.2.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 3.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1} + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 3.2

Reordene os fatores de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 3.3

Some $\cos (θ) \sin (θ)$ e $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 4

Mova $\cos^{2} (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 + 2 \cos (θ) \sin (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Reordene $2 \cos (θ)$ e $\sin (θ)$ .

$1 + \sin (θ) (2 \cos (θ)) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 6.2

Remova os parênteses.

$1 + \sin (θ) \cdot 2 \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 6.3

Reordene $\sin (θ)$ e $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 6.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$1 + \sin (2 θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Etapa 7

Reescreva ${(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$ como $(\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ .

$1 + \sin (2 θ) + (\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$

Etapa 8

Expanda $(\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ usando o método FOIL.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + \sin (2 θ) + \sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ)) - \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + \sin (2 θ) + \sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + \sin (2 θ) + \sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Etapa 9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Multiplique $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Etapa 9.1.1.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Etapa 9.1.1.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Etapa 9.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + \sin (2 θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Etapa 9.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Etapa 9.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

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Etapa 9.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + 1 \cos (θ) \cos (θ)$

Etapa 9.1.3.2

Multiplique $\cos (θ)$ por $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Etapa 9.1.3.3

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ)$

Etapa 9.1.3.4

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)$

Etapa 9.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1}$

Etapa 9.1.3.6

Some $1$ e $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Etapa 9.2

Reordene os fatores de $- \sin (θ) \cos (θ)$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Etapa 9.3

Subtraia $\cos (θ) \sin (θ)$ de $- \cos (θ) \sin (θ)$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Etapa 10

Mova $\cos^{2} (θ)$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Etapa 11

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 + \sin (2 θ) + 1 - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Etapa 12

Some $1$ e $1$ .

$2 + \sin (2 θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$