Pré-cálculo Exemplos

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\csc (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\cot (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\csc (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \cot (θ))$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\cot (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 2.3

Expanda $(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 2.4

Combine os termos opostos em $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ .

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Etapa 2.4.1

Reorganize os fatores nos termos $\frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ e $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 2.4.2

Some $- \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ e $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + 0 + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 2.4.3

Some $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ e $0$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ .

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Etapa 2.5.1.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (θ)}$ por $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 2.5.1.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 2.5.1.3

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 2.5.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{{\sin (θ)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 2.5.1.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Etapa 2.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 2.5.3

Multiplique $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Etapa 2.5.3.1

Multiplique $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ por $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Etapa 2.5.3.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Etapa 2.5.3.3

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Etapa 2.5.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Etapa 2.5.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Etapa 2.5.3.6

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}$

Etapa 2.5.3.7

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}$

Etapa 2.5.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{{\sin (θ)}^{1 + 1}}$

Etapa 2.5.3.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Etapa 2.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Etapa 2.8

Cancele o fator comum de $\sin^{2} (θ)$ .

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Etapa 2.8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Etapa 2.8.2

Reescreva a expressão.

$1$

Etapa 3

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$ é uma identidade