Pré-cálculo Exemplos

$\frac{2 x + 3}{x^{2} + 4 x - 21} \geq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$2 x + 3 = 0$

$x^{2} + 4 x - 21 = 0$

Etapa 2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 3$

Etapa 3

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3}{2}$

Etapa 4

Fatore $x^{2} + 4 x - 21$ usando o método AC.

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Etapa 4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 21$ e cuja soma é $4$ .

$- 3, 7$

Etapa 4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 7) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 7$

Etapa 9

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{3}{2}$

$x = 3, - 7$

Etapa 10

Consolide as soluções.

$x = - \frac{3}{2}, 3, - 7$

Etapa 11

Encontre o domínio de $\frac{2 x + 3}{x^{2} + 4 x - 21}$ .

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Etapa 11.1

Defina o denominador em $\frac{2 x + 3}{x^{2} + 4 x - 21}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 4 x - 21 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $x$ .

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Etapa 11.2.1

Fatore $x^{2} + 4 x - 21$ usando o método AC.

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Etapa 11.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 21$ e cuja soma é $4$ .

$- 3, 7$

Etapa 11.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 7) = 0$

Etapa 11.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 11.2.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.2.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 11.2.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 11.2.4

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.2.4.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 11.2.4.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 11.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 7$

Etapa 11.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 7$

$- 7 < x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < 3$

$x > 3$

Etapa 13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 13.1

Teste um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 13.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 10) + 3}{{(- 10)}^{2} + 4 (- 10) - 21} \geq 0$

Etapa 13.1.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{435897}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 13.2

Teste um valor no intervalo $- 7 < x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 7 < x < - \frac{3}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 13.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 4) + 3}{{(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 21} \geq 0$

Etapa 13.2.3

O lado esquerdo $0.\overline{238095}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 13.3

Teste um valor no intervalo $- \frac{3}{2} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.3.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{3}{2} < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 13.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{2 (0) + 3}{{(0)}^{2} + 4 (0) - 21} \geq 0$

Etapa 13.3.3

O lado esquerdo $- 0.\overline{142857}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 13.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 13.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{2 (6) + 3}{{(6)}^{2} + 4 (6) - 21} \geq 0$

Etapa 13.4.3

O lado esquerdo $0.\overline{384615}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 13.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < - \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{3}{2} < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < - \frac{3}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{3}{2} < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 7 < x \leq - \frac{3}{2}$ ou $x > 3$

Etapa 15

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- 7, - \frac{3}{2}] \cup (3, \infty)$

Etapa 16