Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{4} - 3 x^{3}) - 27 x + 81 = 0$

Etapa 2.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{3} (x - 3) - 27 (x - 3) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{3} - 27) = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$(x - 3) (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Etapa 2.1.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore.

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Etapa 2.1.5.1

Simplifique.

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Etapa 2.1.5.1.1

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Etapa 2.1.5.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Etapa 2.1.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Etapa 2.1.6

Combine expoentes.

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Etapa 2.1.6.1

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Etapa 2.1.6.2

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Etapa 2.1.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x - 3)}^{1 + 1} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Etapa 2.1.6.4

Some $1$ e $1$ .

${(x - 3)}^{2} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Etapa 2.3

Defina ${(x - 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina ${(x - 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva ${(x - 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.4

Defina $x^{2} + 3 x + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2} + 3 x + 9$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 9$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Subtraia $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.4

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.7

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.7.1

Fatore $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x - 3)}^{2} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3