Pré-cálculo Exemplos

$\cos (θ) = \frac{2}{7}$

Etapa 1

Use a definição de cosseno para encontrar os lados conhecidos do triângulo retângulo do círculo unitário. O quadrante determina o sinal em cada valor.

$\cos (θ) = \frac{adjacente}{hipotenusa}$

Etapa 2

Encontre o lado oposto do triângulo de círculo unitário. Como o lado adjacente e a hipotenusa são conhecidos, use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado restante.

$Oposto = \sqrt{{hipotenusa}^{2} - {adjacente}^{2}}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$Oposto = \sqrt{{(7)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique dentro do radical.

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Etapa 4.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

Oposto $= \sqrt{49 - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

Oposto $= \sqrt{49 - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

Oposto $= \sqrt{49 - 4}$

Etapa 4.4

Subtraia $4$ de $49$ .

Oposto $= \sqrt{45}$

Etapa 4.5

Reescreva $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $9$ de $45$ .

Oposto $= \sqrt{9 (5)}$

Etapa 4.5.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

Oposto $= \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Etapa 4.6

Elimine os termos abaixo do radical.

Oposto $= 3 \sqrt{5}$

Etapa 5

Encontre o valor do seno.

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Etapa 5.1

Use a definição de seno para encontrar o valor de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{5}}{7}$

Etapa 6

Encontre o valor da tangente.

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Etapa 6.1

Use a definição de tangente para encontrar o valor de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos.

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7

Encontre o valor da cotangente.

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Etapa 7.1

Use a definição de cotangente para encontrar o valor de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos.

$\cot (θ) = \frac{2}{3 \sqrt{5}}$

Etapa 7.3

Simplifique o valor de $\cot (θ)$ .

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Etapa 7.3.1

Multiplique $\frac{2}{3 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{2}{3 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 7.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.3.2.1

Multiplique $\frac{2}{3 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 7.3.2.2

Mova $\sqrt{5}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Etapa 7.3.2.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Etapa 7.3.2.4

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Etapa 7.3.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.3.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 7.3.2.7

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 7.3.2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.3.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.3.2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Etapa 7.3.2.7.5

Avalie o expoente.

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Etapa 7.3.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{15}$

Etapa 8

Encontre o valor da secante.

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Etapa 8.1

Use a definição de secante para encontrar o valor de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Etapa 8.2

Substitua os valores conhecidos.

$\sec (θ) = \frac{7}{2}$

Etapa 9

Encontre o valor da cossecante.

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Etapa 9.1

Use a definição de cossecante para encontrar o valor de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos.

$\csc (θ) = \frac{7}{3 \sqrt{5}}$

Etapa 9.3

Simplifique o valor de $\csc (θ)$ .

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Etapa 9.3.1

Multiplique $\frac{7}{3 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7}{3 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 9.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique $\frac{7}{3 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 9.3.2.2

Mova $\sqrt{5}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Etapa 9.3.2.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Etapa 9.3.2.4

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Etapa 9.3.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 9.3.2.7

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 9.3.2.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.2.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.2.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.2.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.2.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Etapa 9.3.2.7.5

Avalie o expoente.

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Etapa 9.3.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{15}$

Etapa 10

Esta é a solução para cada valor trigonométrico.

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{5}}{7}$

$\cos (θ) = \frac{2}{7}$

$\tan (θ) = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

$\cot (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{15}$

$\sec (θ) = \frac{7}{2}$

$\csc (θ) = \frac{7 \sqrt{5}}{15}$