Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$ é indefinida.

$x = - 3, x = 3$

Etapa 2

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 3$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 3$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 3$

Etapa 3

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $3$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $3$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 3$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - 3, 3$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 8.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} - 2 x^{2} - 8 x$ .

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Etapa 8.1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.1.1.1.2

Fatore $x$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 8 x}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.1.1.1.3

Fatore $x$ de $- 8 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 8}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.1.1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.1.1.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x - 8)}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.1.1.2

Fatore $x^{2} - 2 x - 8$ usando o método AC.

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Etapa 8.1.1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 4, 2$

Etapa 8.1.1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x ((x - 4) (x + 2))}{x^{2} - 9}$

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{x^{2} - 3^{2}}$

Etapa 8.1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2

Expanda $x (x - 4) (x + 2)$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot - 4) (x + 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x (x + 2) + x \cdot (- 4 (x + 2))}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 (x + 2))}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.5

Mova $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot (2 x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.6

Reordene $x$ e $2$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.7

Reordene $x$ e $- 4$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.8

Reordene $x$ e $- 4$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot x \cdot 2}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.9

Mova $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.10

Multiplique $2$ por $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.11

Multiplique $- 4$ por $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.13

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.15

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.18

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.19

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.20

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.21

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.22

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.23

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.24

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.26

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.27

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.2.28

Subtraia $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Etapa 8.3

Expanda $(x + 3) (x - 3)$ .

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Etapa 8.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x (x - 3) + 3 (x - 3)}$

Etapa 8.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}$

Etapa 8.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.4

Reordene $x$ e $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Etapa 8.3.9

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 3 x + 3 x - 9}$

Etapa 8.3.10

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} + 0 - 9}$

Etapa 8.3.11

Subtraia $9$ de $0$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

Etapa 8.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

Etapa 8.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Etapa 8.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 0 - 9 x$ .

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$

Etapa 8.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$2 x^{2}$

$x$

Etapa 8.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

Etapa 8.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

Etapa 8.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$18$

Etapa 8.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{2} + 0 + 18$ .

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$

Etapa 8.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$
									+	$x$	-	$18$

Etapa 8.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x - 2 + \frac{x - 18}{x^{2} - 9}$

Etapa 8.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x - 2$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 3, 3$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x - 2$

Etapa 10