Pré-cálculo Exemplos

$x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2} = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d y} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x^{2}$ e $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x y^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$x^{2} + 2 y x x' - \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (x (2 y) + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 u_{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 x x' + 2 y$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y) - (y^{2} x') + 2 x x' + 2 y$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y$

Etapa 2.6.3

Reordene os termos.

$x^{2} + 2 x y x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $0$ em relação a $y$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x^{2} + 2 x y x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y = 0$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $x'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x y x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y = - x^{2}$

Etapa 5.1.2

Some $2 x y$ aos dois lados da equação.

$2 x y x' - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y = - x^{2} + 2 x y$

Etapa 5.1.3

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$2 x y x' - y^{2} x' + 2 x x' = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Etapa 5.2

Fatore $x'$ de $2 x y x' - y^{2} x' + 2 x x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $x'$ de $2 x y x'$ .

$x' (2 x y) - y^{2} x' + 2 x x' = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Etapa 5.2.2

Fatore $x'$ de $- y^{2} x'$ .

$x' (2 x y) + x' (- y^{2}) + 2 x x' = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Etapa 5.2.3

Fatore $x'$ de $2 x x'$ .

$x' (2 x y) + x' (- y^{2}) + x' (2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Etapa 5.2.4

Fatore $x'$ de $x' (2 x y) + x' (- y^{2})$ .

$x' (2 x y - y^{2}) + x' (2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Etapa 5.2.5

Fatore $x'$ de $x' (2 x y - y^{2}) + x' (2 x)$ .

$x' (2 x y - y^{2} + 2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x' (2 x y - y^{2} + 2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$ por $2 x y - y^{2} + 2 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x' (2 x y - y^{2} + 2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$ por $2 x y - y^{2} + 2 x$ .

$\frac{x' (2 x y - y^{2} + 2 x)}{2 x y - y^{2} + 2 x} = \frac{- x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 x y - y^{2} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (2 x y - y^{2} + 2 x)}{2 x y - y^{2} + 2 x} = \frac{- x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} - \frac{2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{- x^{2} + 2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} - \frac{2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 5.3.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x' = \frac{- x^{2} + 2 x y - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 5.3.3.2.3

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$x' = \frac{- (x^{2}) + 2 x y - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 5.3.3.2.4

Fatore $- 1$ de $2 x y$ .

$x' = \frac{- (x^{2}) - (- 2 x y) - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 5.3.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x y)$ .

$x' = \frac{- (x^{2} - 2 x y) - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 5.3.3.2.6

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$x' = \frac{- (x^{2} - 2 x y) - (2 y)}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 5.3.3.2.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x y) - (2 y)$ .

$x' = \frac{- (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 5.3.3.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.8.1

Reescreva $- (x^{2} - 2 x y + 2 y)$ como $- 1 (x^{2} - 2 x y + 2 y)$ .

$x' = \frac{- 1 (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 5.3.3.2.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{x^{2} - 2 x y + 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x^{2} - 2 x y + 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$