Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x + 2}{4 x - 7}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{3 x + 2}{4 x - 7})$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = 3 x + 2$ e $g (y) = 4 x - 7$ .

$\frac{(4 x - 7) \frac{d}{d y} [3 x + 2] - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{(4 x - 7) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + 0) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.1

Some $3 x'$ e $0$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x') - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Mova $3$ para a esquerda de $4 x - 7$ .

$\frac{3 \cdot (4 x - 7) x' - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 7$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7]$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 x$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.8

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.9

Como $- 7$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 7$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + 0)}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.10.1

Some $4 x'$ e $0$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x')}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 (4 x) + 3 \cdot - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' + (- 4 (3 x) - 4 \cdot 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.11.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.11.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.11.5.1.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12 x x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.11.5.1.2

Multiplique $3$ por $- 7$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.11.5.1.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.11.5.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.11.5.2

Combine os termos opostos em $12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'$ .

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Etapa 3.11.5.2.1

Subtraia $12 x x'$ de $12 x x'$ .

$\frac{0 - 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.11.5.2.2

Subtraia $21 x'$ de $0$ .

$\frac{- 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.11.5.3

Subtraia $8 x'$ de $- 21 x'$ .

$\frac{- 29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 3.11.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = - \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ .

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = - 1$

Etapa 5.3

Multiplique os dois lados por ${(4 x - 7)}^{2}$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

Etapa 5.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum de ${(4 x - 7)}^{2}$ .

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Etapa 5.4.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

Etapa 5.4.1.2

Reescreva a expressão.

$29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ por $29$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ por $29$ .

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $29$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$