Pré-cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x + 6}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 6} 2 x^{2} + 9 x - 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$\frac{lim_{x \to - 6} 2 x^{2} + lim_{x \to - 6} 9 x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 6} x^{2} + lim_{x \to - 6} 9 x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} + lim_{x \to - 6} 9 x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} + 9 lim_{x \to - 6} x - lim_{x \to - 6} 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $18$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} + 9 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $- 6$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 6$ por $x$ .

$\frac{2 {(- 6)}^{2} + 9 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 6$ por $x$ .

$\frac{2 {(- 6)}^{2} + 9 \cdot - 6 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.7.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot 36 + 9 \cdot - 6 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Multiplique $2$ por $36$ .

$\frac{72 + 9 \cdot - 6 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Multiplique $9$ por $- 6$ .

$\frac{72 - 54 - 1 \cdot 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.2.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $18$ .

$\frac{72 - 54 - 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $54$ de $72$ .

$\frac{18 - 18}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.2.7.3

Subtraia $18$ de $18$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 6}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x + 6}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 6$ por $x$ .

$\frac{0}{- 6 + 6}$

Etapa 1.1.3.3

Some $- 6$ e $6$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x^{2} + 9 x - 18}{x + 6} = lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x - 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 9 x - 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 9 x - 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 + \frac{d}{d x} [- 18]}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 1.3.6

Some $4 x + 9$ e $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{\frac{d}{d x} [x + 6]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{1 + \frac{d}{d x} [6]}$

Etapa 1.3.9

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{1 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 6} \frac{4 x + 9}{1}$

Etapa 1.4

Divida $4 x + 9$ por $1$ .

$lim_{x \to - 6} 4 x + 9$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$lim_{x \to - 6} 4 x + lim_{x \to - 6} 9$

Etapa 2.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$4 lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 9$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 6$ .

$4 lim_{x \to - 6} x + 9$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 6$ por $x$ .

$4 \cdot - 6 + 9$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $4$ por $- 6$ .

$- 24 + 9$

Etapa 4.2

Some $- 24$ e $9$ .

$- 15$