Pré-cálculo Exemplos

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} = 10$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $2$ .

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{x} + 100 e^{- x} = 10 \cdot 2$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $10$ por $2$ .

$e^{x} + 100 e^{- x} = 20$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $e^{- x}$ como exponenciação.

$e^{x} + 100 {(e^{x})}^{- 1} = 20$

Etapa 3.2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u + 100 u^{- 1} = 20$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 100 (\frac{1}{u}) = 20$

Etapa 3.3.2

Combine $100$ e $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{100}{u} = 20$

Etapa 3.4

Resolva $u$ .

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Etapa 3.4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 3.4.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 3.4.2

Multiplique cada termo em $u + \frac{100}{u} = 20$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique cada termo em $u + \frac{100}{u} = 20$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{100}{u} u = 20 u$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

Etapa 3.4.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} + 100 = 20 u$

Etapa 3.4.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.3.1

Subtraia $20 u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 100 - 20 u = 0$

Etapa 3.4.3.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.4.3.2.1

Reorganize os termos.

$u^{2} - 20 u + 100 = 0$

Etapa 3.4.3.2.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$u^{2} - 20 u + 10^{2} = 0$

Etapa 3.4.3.2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$20 u = 2 \cdot u \cdot 10$

Etapa 3.4.3.2.4

Reescreva o polinômio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 10 + 10^{2} = 0$

Etapa 3.4.3.2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 10$ .

${(u - 10)}^{2} = 0$

Etapa 3.4.3.3

Defina $u - 10$ como igual a $0$ .

$u - 10 = 0$

Etapa 3.4.3.4

Some $10$ aos dois lados da equação.

$u = 10$

Etapa 3.5

Substitua $10$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$10 = e^{x}$

Etapa 3.6

Resolva $10 = e^{x}$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 10$ .

$e^{x} = 10$

Etapa 3.6.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (10)$

Etapa 3.6.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (10)$

Etapa 3.6.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (10)$

Etapa 3.6.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (10)$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (10)$

Forma decimal:

$x = 2.30258509 \dots$