Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x}{x - 3}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{2 y}{y - 3}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique a equação por $y - 3$ .

$(y - 3) (x) = (\frac{2 y}{y - 3}) (y - 3)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y x - 3 x = (\frac{2 y}{y - 3}) (y - 3)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y x - 3 x = \frac{2 y}{y - 3} (y - 3)$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y x - 3 x = 2 y$

Etapa 2.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$y x - 3 x - 2 y = 0$

Etapa 2.4.2

Some $3 x$ aos dois lados da equação.

$y x - 2 y = 3 x$

Etapa 2.4.3

Fatore $y$ de $y x - 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) - 2 y = 3 x$

Etapa 2.4.3.2

Fatore $y$ de $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 3 x$

Etapa 2.4.3.3

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 3 x$

Etapa 2.4.4

Divida cada termo em $y (x - 2) = 3 x$ por $x - 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Divida cada termo em $y (x - 2) = 3 x$ por $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{3 x}{x - 2}$

Etapa 2.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{3 x}{x - 2}$

Etapa 2.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{3 x}{x - 2}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ é o inverso de $f (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{x - 3})}{(\frac{2 x}{x - 3}) - 2}$

Etapa 4.2.3

Combine $3$ e $\frac{2 x}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2}$

Etapa 4.2.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2 \cdot \frac{x - 3}{x - 3}}$

Etapa 4.2.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} + \frac{- 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Etapa 4.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Etapa 4.2.4.4

Reescreva $\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.4.1

Fatore $2$ de $2 x - 2 (x - 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Etapa 4.2.4.4.1.2

Fatore $2$ de $- 2 (x - 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 3))}{x - 3}}$

Etapa 4.2.4.4.1.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (- (x - 3))$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - (x - 3))}{x - 3}}$

Etapa 4.2.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

Etapa 4.2.4.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

Etapa 4.2.4.4.4

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (0 + 3)}{x - 3}}$

Etapa 4.2.4.4.5

Some $0$ e $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 \cdot 3}{x - 3}}$

Etapa 4.2.4.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

Etapa 4.2.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{6 x}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

Etapa 4.2.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Etapa 4.2.7

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

Fatore $6$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Etapa 4.2.7.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Etapa 4.2.7.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Etapa 4.2.8

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Etapa 4.2.8.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{3 x}{x - 2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{x - 2})}{(\frac{3 x}{x - 2}) - 3}$

Etapa 4.3.3

Combine $2$ e $\frac{3 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Etapa 4.3.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Etapa 4.3.4.2

Combine $- 3$ e $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Etapa 4.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Etapa 4.3.4.4

Reescreva $\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.4.1

Fatore $3$ de $3 x - 3 (x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.4.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Etapa 4.3.4.4.1.2

Fatore $3$ de $- 3 (x - 2)$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) + 3 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Etapa 4.3.4.4.1.3

Fatore $3$ de $3 (x) + 3 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Etapa 4.3.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Etapa 4.3.4.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Etapa 4.3.4.4.4

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (0 + 2)}{x - 2}}$

Etapa 4.3.4.4.5

Some $0$ e $2$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 \cdot 2}{x - 2}}$

Etapa 4.3.4.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

Etapa 4.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Etapa 4.3.7

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Fatore $6$ de $6 x$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Etapa 4.3.7.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Etapa 4.3.7.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Etapa 4.3.8

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Etapa 4.3.8.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ é o inverso de $f (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$