Pré-cálculo Exemplos

$\log (x - 2) + \log (x + 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Expanda $(x - 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Etapa 2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Etapa 2.2

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

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Etapa 2.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot 2$ e $- 2 x$ .

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Etapa 2.2.2

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Etapa 2.2.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Etapa 2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Etapa 2.3.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\log (x^{2} - 4) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Etapa 2.4

Simplifique $- 0.5 \log (x^{2} + 4)$ movendo $0.5$ para dentro do logaritmo.

$\log (x^{2} - 4) - \log ({(x^{2} + 4)}^{0.5})$

Etapa 3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 4}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 2^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$