Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{4} \cdot (3 \ln (x + 2) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 81))$

Etapa 1

Simplifique $3 \ln (x + 2)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{4} \cdot (\ln ({(x + 2)}^{3}) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 81))$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \cdot (\ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x}) - \ln (x^{2} - 81))$

Etapa 3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{\frac{{(x + 2)}^{3}}{x}}{x^{2} - 81})$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 81})$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 9^{2}})$

Etapa 5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x} \cdot \frac{1}{(x + 9) (x - 9)})$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Combine.

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3} \cdot 1}{x ((x + 9) (x - 9))})$

Etapa 6.2

Multiplique ${(x + 2)}^{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x ((x + 9) (x - 9))})$

Etapa 7

Simplifique $\frac{1}{4} \ln (\frac{{(x + 2)}^{3}}{x (x + 9) (x - 9)})$ movendo $\frac{1}{4}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(\frac{{(x + 2)}^{3}}{x (x + 9) (x - 9)})}^{\frac{1}{4}})$

Etapa 8

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 8.1

Aplique a regra do produto a $\frac{{(x + 2)}^{3}}{x (x + 9) (x - 9)}$ .

$\ln (\frac{{({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{{(x (x + 9) (x - 9))}^{\frac{1}{4}}})$

Etapa 8.2

Aplique a regra do produto a $x (x + 9) (x - 9)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{{(x (x + 9))}^{\frac{1}{4}} {(x - 9)}^{\frac{1}{4}}})$

Etapa 8.3

Aplique a regra do produto a $x (x + 9)$ .

$\ln (\frac{{({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} {(x + 9)}^{\frac{1}{4}} {(x - 9)}^{\frac{1}{4}}})$

Etapa 9

Multiplique os expoentes em ${({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{3 (\frac{1}{4})}}{x^{\frac{1}{4}} {(x + 9)}^{\frac{1}{4}} {(x - 9)}^{\frac{1}{4}}})$

Etapa 9.2

Combine $3$ e $\frac{1}{4}$ .

$\ln (\frac{{(x + 2)}^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} {(x + 9)}^{\frac{1}{4}} {(x - 9)}^{\frac{1}{4}}})$