Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 3)) + \ln (x) - \ln (x^{2} - 1)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \cdot (2 \ln (x + 3)) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Etapa 2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1

Simplifique $2 \ln (x + 3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{3} \cdot \ln ({(x + 3)}^{2}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Etapa 2.2

Simplifique $\frac{1}{3} \ln ({(x + 3)}^{2})$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 3)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(x + 3)}^{2 (\frac{1}{3})}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Etapa 2.3.2

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Etapa 2.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\ln ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x}{x^{2} - 1^{2}})$

Etapa 2.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\ln ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Etapa 3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Etapa 4

Combine ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x}{(x + 1) (x - 1)})$

Etapa 5

Reordene os fatores em $\ln (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x}{(x + 1) (x - 1)})$ .

$\ln (\frac{x {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{(x + 1) (x - 1)})$