Pré-cálculo Exemplos

$3 \sin^{2} (x) = 5 \sin (x) + 2$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $5 \sin (x)$ dos dois lados da equação.

$3 \sin^{2} (x) - 5 \sin (x) = 2$

Etapa 1.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 \sin^{2} (x) - 5 \sin (x) - 2 = 0$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 \sin (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) - 5 \sin (x) - 2 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 5$ como $1$ mais $- 6$

$3 \sin^{2} (x) + (1 - 6) \sin (x) - 2 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 6 \sin (x) - 2 = 0$

Etapa 2.1.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$3 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 6 \sin (x) - 2 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$3 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 6 \sin (x) - 2 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\sin (x) (3 \sin (x) + 1) - 2 (3 \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 \sin (x) + 1$ .

$(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 2) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 2 = 0$

Etapa 4

Defina $3 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $3 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$3 \sin (x) + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $3 \sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 \sin (x) = - 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $3 \sin (x) = - 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $3 \sin (x) = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sin (x)}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{3}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{1}{3}$

Etapa 4.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{3})$

Etapa 4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.4.1

Avalie $\arcsin (- \frac{1}{3})$ .

$x = - 0.3398369$

Etapa 4.2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$

Etapa 4.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 4.2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265 - 2 π$

Etapa 4.2.6.2

O ângulo resultante de $3.48142956$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ .

$x = 3.48142956$

Etapa 4.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 4.2.8.1

Some $2 π$ com $- 0.3398369$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.3398369 + 2 π$

Etapa 4.2.8.2

Subtraia $0.3398369$ de $2 π$ .

$5.94334839$

Etapa 4.2.8.3

Liste os novos ângulos.

$x = 5.94334839$

Etapa 4.2.9

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3.48142956 + 2 π n, 5.94334839 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\sin (x) - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\sin (x) - 2$ como igual a $0$ .

$\sin (x) - 2 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\sin (x) - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\sin (x) = 2$

Etapa 5.2.2

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $2$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 3.48142956 + 2 π n, 5.94334839 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$