Pré-cálculo Exemplos

$\log (2 x - 2) + \log (x - 6) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((2 x - 2) (x - 6)) = 2$

Etapa 1.2

Expanda $(2 x - 2) (x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (2 x (x - 6) - 2 (x - 6)) = 2$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 6 - 2 (x - 6)) = 2$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Etapa 1.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (2 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$\log (2 x^{2} - 12 x - 2 x - 2 \cdot - 6) = 2$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$\log (2 x^{2} - 12 x - 2 x + 12) = 2$

Etapa 1.3.2

Subtraia $2 x$ de $- 12 x$ .

$\log (2 x^{2} - 14 x + 12) = 2$

Etapa 2

Reescreva $\log (2 x^{2} - 14 x + 12) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 2 x^{2} - 14 x + 12$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 x^{2} - 14 x + 12 = 10^{2}$ .

$2 x^{2} - 14 x + 12 = 10^{2}$

Etapa 3.2

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$2 x^{2} - 14 x + 12 = 100$

Etapa 3.3

Subtraia $100$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 14 x + 12 - 100 = 0$

Etapa 3.4

Subtraia $100$ de $12$ .

$2 x^{2} - 14 x - 88 = 0$

Etapa 3.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.5.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 14 x - 88$ .

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Etapa 3.5.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 14 x - 88 = 0$

Etapa 3.5.1.2

Fatore $2$ de $- 14 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 7 x) - 88 = 0$

Etapa 3.5.1.3

Fatore $2$ de $- 88$ .

$2 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 44 = 0$

Etapa 3.5.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 7 x)$ .

$2 (x^{2} - 7 x) + 2 \cdot - 44 = 0$

Etapa 3.5.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} - 7 x) + 2 \cdot - 44$ .

$2 (x^{2} - 7 x - 44) = 0$

Etapa 3.5.2

Fatore.

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Etapa 3.5.2.1

Fatore $x^{2} - 7 x - 44$ usando o método AC.

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Etapa 3.5.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 44$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 11, 4$

Etapa 3.5.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((x - 11) (x + 4)) = 0$

Etapa 3.5.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x - 11) (x + 4) = 0$

Etapa 3.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 11 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 3.7

Defina $x - 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x - 11$ como igual a $0$ .

$x - 11 = 0$

Etapa 3.7.2

Some $11$ aos dois lados da equação.

$x = 11$

Etapa 3.8

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.8.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 3.8.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 3.9

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x - 11) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 11, - 4$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log (2 x - 2) + \log (x - 6) = 2$ verdadeira.

$x = 11$