Pré-cálculo Exemplos

$\frac{- 3 x^{2} + 24 x + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2} + 24 x + 21$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 24 x + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $3$ de $24 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $3$ de $21$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

Etapa 1.1.1.4

Fatore $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (8 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

Etapa 1.1.1.5

Fatore $3$ de $3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (7)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

Etapa 1.1.2

Fatore $x^{2} - 8 x + 7$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $7$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 7, - 1$

Etapa 1.1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7)}{(x - 7) (x - 1)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 7}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 1}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 7) (x - 1)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 7) (x - 1)}{(x - 7) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x - 7$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 7) (x - 1)}{(x - 7) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.6.2

Divida $3 (- x^{2} + 8 x + 7)$ por $1$ .

$3 (- x^{2} + 8 x + 7) = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.8

Simplifique.

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Etapa 1.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.8.2

Multiplique $8$ por $3$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.8.3

Multiplique $3$ por $7$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.9.1

Cancele o fator comum de $x - 7$ .

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Etapa 1.9.1.1

Cancele o fator comum.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = \frac{A (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.9.1.2

Divida $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.9.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.9.4

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.9.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.9.5.1

Cancele o fator comum.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 1.9.5.2

Divida $(B) (x - 7)$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + (B) (x - 7)$

Etapa 1.9.6

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + B x + B \cdot - 7$

Etapa 1.9.7

Mova $- 7$ para a esquerda de $B$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + B x - 7 B$

Etapa 1.10

Mova $- A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x + B x - A - 7 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$24 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$21 = - 1 A - 7 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$24 = A + B$

$21 = - 1 A - 7 B$

$24 = A + B$

$21 = - 1 A - 7 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $24 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 24$ .

$A + B = 24$

$21 = - 1 A - 7 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 24 - B$

$21 = - 1 A - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 1 A - 7 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $24 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $21 = - 1 A - 7 B$ por $24 - B$ .

$21 = - 1 (24 - B) - 7 B$

$A = 24 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 1 (24 - B) - 7 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$21 = - 1 \cdot 24 - 1 (- B) - 7 B$

$A = 24 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$21 = - 24 - 1 (- B) - 7 B$

$A = 24 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1 (- B)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$21 = - 24 + 1 B - 7 B$

$A = 24 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia $7 B$ de $B$ .

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $21 = - 24 - 6 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 24 - 6 B = 21$ .

$- 24 - 6 B = 21$

$A = 24 - B$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $24$ aos dois lados da equação.

$- 6 B = 21 + 24$

$A = 24 - B$

Etapa 3.3.2.2

Some $21$ e $24$ .

$- 6 B = 45$

$A = 24 - B$

$- 6 B = 45$

$A = 24 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- 6 B = 45$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- 6 B = 45$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Cancele o fator comum de $45$ e $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1.1

Fatore $3$ de $45$ .

$B = \frac{3 (15)}{- 6}$

$A = 24 - B$

Etapa 3.3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.3.1.2.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$B = \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot - 2}$

$A = 24 - B$

Etapa 3.3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$B = \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot - 2}$

$A = 24 - B$

Etapa 3.3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

Etapa 3.3.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- \frac{15}{2}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 24 - B$ por $- \frac{15}{2}$ .

$A = 24 - (- \frac{15}{2})$

$B = - \frac{15}{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $24 - (- \frac{15}{2})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- (- \frac{15}{2})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A = 24 + 1 (\frac{15}{2})$

$B = - \frac{15}{2}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Multiplique $\frac{15}{2}$ por $1$ .

$A = 24 + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Para escrever $24$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A = 24 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Etapa 3.4.2.1.3

Combine $24$ e $\frac{2}{2}$ .

$A = \frac{24 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Etapa 3.4.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{24 \cdot 2 + 15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Etapa 3.4.2.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.1.5.1

Multiplique $24$ por $2$ .

$A = \frac{48 + 15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Etapa 3.4.2.1.5.2

Some $48$ e $15$ .

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{63}{2}, B = - \frac{15}{2}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{63}{2}}{x - 7} + \frac{- \frac{15}{2}}{x - 1}$