Pré-cálculo Exemplos

$\log_{3} (\frac{\sqrt{27 x^{5}}}{\sqrt[4]{9 y^{3}}})$

Etapa 1

Reescreva $\log_{3} (\frac{\sqrt{27 x^{5}}}{\sqrt[4]{9 y^{3}}})$ como $\log_{3} (\sqrt{27 x^{5}}) - \log_{3} (\sqrt[4]{9 y^{3}})$ .

$\log_{3} (\sqrt{27 x^{5}}) - \log_{3} (\sqrt[4]{9 y^{3}})$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{27 x^{5}}$ como ${(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{3} ({(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} (\sqrt[4]{9 y^{3}})$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{9 y^{3}}$ como ${(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{3} ({(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}}) - \log_{3} ({(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}})$

Etapa 4

Expanda $\log_{3} ({(27 x^{5})}^{\frac{1}{2}})$ movendo $\frac{1}{2}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{2} \log_{3} (27 x^{5}) - \log_{3} ({(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}})$

Etapa 5

Expanda $\log_{3} ({(9 y^{3})}^{\frac{1}{4}})$ movendo $\frac{1}{4}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{2} \log_{3} (27 x^{5}) - (\frac{1}{4} \log_{3} (9 y^{3}))$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{4}$ e $\log_{3} (9 y^{3})$ .

$\frac{1}{2} \log_{3} (27 x^{5}) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Etapa 7

Reescreva $\log_{3} (27 x^{5})$ como $\log_{3} (27) + \log_{3} (x^{5})$ .

$\frac{1}{2} (\log_{3} (27) + \log_{3} (x^{5})) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Etapa 8

Expanda $\log_{3} (x^{5})$ movendo $5$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{2} (\log_{3} (27) + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Etapa 9

A base do logaritmo $3$ de $27$ é $3$ .

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9 y^{3})}{4}$

Etapa 10

Reescreva $\log_{3} (9 y^{3})$ como $\log_{3} (9) + \log_{3} (y^{3})$ .

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9) + \log_{3} (y^{3})}{4}$

Etapa 11

Expanda $\log_{3} (y^{3})$ movendo $3$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{\log_{3} (9) + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Etapa 12

A base do logaritmo $3$ de $9$ é $2$ .

$\frac{1}{2} (3 + 5 \log_{3} (x)) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Etapa 13

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{1}{2} (5 \log_{3} (x)) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Etapa 13.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2} (5 \log_{3} (x)) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Etapa 13.3

Multiplique $\frac{1}{2} (5 \log_{3} (x))$ .

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Etapa 13.3.1

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{5}{2} \log_{3} (x) - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Etapa 13.3.2

Combine $\frac{5}{2}$ e $\log_{3} (x)$ .

$\frac{3}{2} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4}$

Etapa 14

Para escrever $\frac{3}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Etapa 15

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Etapa 15.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{2 + 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Etapa 16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \cdot 2 - (2 + 3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Etapa 17

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 - (2 + 3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Etapa 18

Simplifique o numerador.

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Etapa 18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 - 1 \cdot 2 - (3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Etapa 18.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{6 - 2 - (3 \log_{3} (y))}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Etapa 18.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{6 - 2 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Etapa 18.4

Subtraia $2$ de $6$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2}$

Etapa 19

Para escrever $\frac{5 \log_{3} (x)}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x)}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 20

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 20.1

Multiplique $\frac{5 \log_{3} (x)}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x) \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 20.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y)}{4} + \frac{5 \log_{3} (x) \cdot 2}{4}$

Etapa 21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y) + 5 \log_{3} (x) \cdot 2}{4}$

Etapa 22

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{4 - 3 \log_{3} (y) + 10 \log_{3} (x)}{4}$