Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x - \frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1})$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - \frac{1}{x}) \frac{x}{x + 1})$

Etapa 2

Multiplique $x - \frac{1}{x}$ por $\frac{x}{x + 1}$ .

$\ln (\frac{(x - \frac{1}{x}) x}{x + 1})$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\ln (\frac{(\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}) x}{x + 1})$

Etapa 3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (\frac{\frac{x \cdot x - 1}{x} x}{x + 1})$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{1} x - 1}{x} x}{x + 1})$

Etapa 3.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{1} x^{1} - 1}{x} x}{x + 1})$

Etapa 3.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (\frac{\frac{x^{1 + 1} - 1}{x} x}{x + 1})$

Etapa 3.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} - 1}{x} x}{x + 1})$

Etapa 3.3.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} x}{x + 1})$

Etapa 3.3.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} x}{x + 1})$

Etapa 4

Combine $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$ e $x$ .

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}}{x + 1})$

Etapa 5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Reduza a expressão $\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1) x}{x}}{x + 1})$

Etapa 5.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{\frac{(x + 1) (x - 1)}{1}}{x + 1})$

Etapa 5.2

Divida $(x + 1) (x - 1)$ por $1$ .

$\ln (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1})$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1})$

Etapa 6.2

Divida $x - 1$ por $1$ .

$\ln (x - 1)$