Pré-cálculo Exemplos

$x - \frac{15}{x} < - 2$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1$

Etapa 1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $x - \frac{15}{x} < - 2$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $x - \frac{15}{x} < - 2$ por $x$ .

$x \cdot x - \frac{15}{x} x < - 2 x$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} - \frac{15}{x} x < - 2 x$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{15}{x}$ para o numerador.

$x^{2} + \frac{- 15}{x} x < - 2 x$

Etapa 2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} + \frac{- 15}{x} x < - 2 x$

Etapa 2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} - 15 < - 2 x$

Etapa 3

Resolva a desigualdade.

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Etapa 3.1

Some $2 x$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{2} - 15 + 2 x < 0$

Etapa 3.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 15 + 2 x = 0$

Etapa 3.3

Fatore $x^{2} - 15 + 2 x$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $2$ .

$- 3, 5$

Etapa 3.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 3.6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 3.6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 5$

Etapa 4

Encontre o domínio de $x - \frac{15}{x} + 2$ .

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{15}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 4.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 6.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$(- 8) - \frac{15}{- 8} < - 2$

Etapa 6.1.3

O lado esquerdo $- 6.125$ é menor do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 6.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$(- 2) - \frac{15}{- 2} < - 2$

Etapa 6.2.3

O lado esquerdo $5.5$ não é menor do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 6.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$(2) - \frac{15}{2} < - 2$

Etapa 6.3.3

O lado esquerdo $- 5.5$ é menor do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 6.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 6.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 6.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$(6) - \frac{15}{6} < - 2$

Etapa 6.4.3

O lado esquerdo $3.5$ não é menor do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 6.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 5$ ou $0 < x < 3$

Etapa 8

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 3)$

Etapa 9