Pré-cálculo Exemplos

$\log (x^{2} - 1) - \log (12) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1}{12}) = 1$

Etapa 1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{12}) = 1$

Etapa 1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10^{1}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $12$ .

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1.1

Simplifique $12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 3.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$(x + 1) (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.3.1.1.2

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.3.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.3.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.3.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.3.1.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.3.1.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.3.1.1.3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.3.1.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.3.1.1.3.2

Some $- x$ e $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.3.1.1.3.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.1

Move the decimal point in $12$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{1}$ by $1$ .

$x^{2} - 1 = 1.2 \cdot 10^{2}$

Etapa 3.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1$

Etapa 3.4.2

Convert $1$ to scientific notation.

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1 \cdot 10^{0}$

Etapa 3.4.3

Move the decimal point in $1$ to the left by $2$ places and increase the power of $10^{0}$ by $2$ .

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$

Etapa 3.4.4

Fatore $10^{2}$ de $1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$ .

$x^{2} = (1.2 + 0.01) \cdot 10^{2}$

Etapa 3.4.5

Some $1.2$ e $0.01$ .

$x^{2} = 1.21 \cdot 10^{2}$

Etapa 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique $\pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva $\sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ como $\sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$ .

$x = \pm \sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$

Etapa 3.6.2

Avalie a raiz.

$x = \pm 1.1 \cdot \sqrt{10^{2}}$

Etapa 3.6.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 1.1 \cdot 10$

Etapa 3.6.4

Eleve $10$ à potência de $1$ .

$x = \pm 1.1 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1.1 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1.1 \cdot 10^{1}$

Etapa 3.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Notação científica:

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

Forma expandida:

$x = 11, - 11$