Pré-cálculo Exemplos

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5 + 0$

Etapa 2

Some $5$ e $0$ .

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x)$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1.1

Simplifique $4 \log_{3} (2 x)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} ({(2 x)}^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Etapa 3.1.1.2

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$\log_{3} (2^{4} x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Etapa 3.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\log_{3} (16 x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Etapa 3.1.1.4

Simplifique $8 \log_{3} (x)$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} (16 x^{4}) + \log_{3} (x^{8}) = 5$

Etapa 3.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (16 x^{4} x^{8}) = 5$

Etapa 3.1.3

Multiplique $x^{4}$ por $x^{8}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.3.1

Mova $x^{8}$ .

$\log_{3} (16 (x^{8} x^{4})) = 5$

Etapa 3.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\log_{3} (16 x^{8 + 4}) = 5$

Etapa 3.1.3.3

Some $8$ e $4$ .

$\log_{3} (16 x^{12}) = 5$

Etapa 4

Reescreva $\log_{3} (16 x^{12}) = 5$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{5} = 16 x^{12}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $16 x^{12} = 3^{5}$ .

$16 x^{12} = 3^{5}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $16 x^{12} = 3^{5}$ por $16$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $16 x^{12} = 3^{5}$ por $16$ .

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x^{12}$ por $1$ .

$x^{12} = \frac{3^{5}}{16}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$x^{12} = \frac{243}{16}$

Etapa 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$

Etapa 5.4

Simplifique $\pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ .

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Etapa 5.4.1

Reescreva $\sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ como $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.4.2.1

Reescreva $16$ como $2^{4}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{2^{4}}}$

Etapa 5.4.2.2

Reescreva $\sqrt[12]{2^{4}}$ como $\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}}$

Etapa 5.4.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$

Etapa 5.4.3

Multiplique $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 5.4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.4.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 5.4.4.2

Eleve $\sqrt[3]{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Etapa 5.4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Etapa 5.4.4.4

Some $1$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Etapa 5.4.4.5

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Etapa 5.4.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 5.4.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 5.4.4.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.4.4.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.4.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Etapa 5.4.4.5.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Etapa 5.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.5.1

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ como $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Etapa 5.4.5.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{4}}{2}$

Etapa 5.4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.6.1

Reescreva a expressão usando o menor índice comum de $12$ .

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Etapa 5.4.6.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Etapa 5.4.6.1.2

Reescreva $4^{\frac{1}{3}}$ como $4^{\frac{4}{12}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{4}{12}}}{2}$

Etapa 5.4.6.1.3

Reescreva $4^{\frac{4}{12}}$ como $\sqrt[12]{4^{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[12]{4^{4}}}{2}$

Etapa 5.4.6.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 4^{4}}}{2}$

Etapa 5.4.6.3

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 256}}{2}$

Etapa 5.4.7

Multiplique $243$ por $256$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Etapa 5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Etapa 5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Etapa 5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}, - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Etapa 6

Exclua as soluções que não tornam $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$ verdadeira.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.25446107 \dots$