Pré-cálculo Exemplos

$\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (2 - x) = 1 + \log_{5} (- x)$

Etapa 1

Reordene $2$ e $- x$ .

$\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1 + \log_{5} (- x)$

Etapa 2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (- x + 2) - \log_{5} (- x) = 1$

Etapa 3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{- 45 x}{- x}) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum.

$\log_{5} (\frac{- 45 x}{- x}) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Etapa 4.1.2

Reescreva a expressão.

$\log_{5} (\frac{- 45}{- 1}) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Etapa 4.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 45}{- 1}$ .

$\log_{5} (- 1 \cdot - 45) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Etapa 4.2

Reescreva $- 1 \cdot - 45$ como $- - 45$ .

$\log_{5} (45) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $- 45$ .

$\log_{5} (45) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Etapa 5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1

Simplifique $\log_{5} (45) - 2 \log_{5} (- x + 2)$ .

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Etapa 5.1.1

Simplifique $- 2 \log_{5} (- x + 2)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{5} (45) - \log_{5} ({(- x + 2)}^{2}) = 1$

Etapa 5.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}}) = 1$

Etapa 6

Reescreva $\log_{5} (\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{45}{{(- x + 2)}^{2}}$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5^{1}$ .

$\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5$

Etapa 7.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 7.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

${(- x + 2)}^{2}, 1$

Etapa 7.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

${(- x + 2)}^{2}$

Etapa 7.3

Multiplique cada termo em $\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5$ por ${(- x + 2)}^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 7.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5$ por ${(- x + 2)}^{2}$ .

$\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} {(- x + 2)}^{2} = 5 {(- x + 2)}^{2}$

Etapa 7.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.2.1

Cancele o fator comum de ${(- x + 2)}^{2}$ .

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Etapa 7.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} {(- x + 2)}^{2} = 5 {(- x + 2)}^{2}$

Etapa 7.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$45 = 5 {(- x + 2)}^{2}$

Etapa 7.4

Resolva a equação.

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Etapa 7.4.1

Reescreva a equação como $5 {(- x + 2)}^{2} = 45$ .

$5 {(- x + 2)}^{2} = 45$

Etapa 7.4.2

Divida cada termo em $5 {(- x + 2)}^{2} = 45$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 7.4.2.1

Divida cada termo em $5 {(- x + 2)}^{2} = 45$ por $5$ .

$\frac{5 {(- x + 2)}^{2}}{5} = \frac{45}{5}$

Etapa 7.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 7.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 {(- x + 2)}^{2}}{5} = \frac{45}{5}$

Etapa 7.4.2.2.1.2

Divida ${(- x + 2)}^{2}$ por $1$ .

${(- x + 2)}^{2} = \frac{45}{5}$

Etapa 7.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.2.3.1

Divida $45$ por $5$ .

${(- x + 2)}^{2} = 9$

Etapa 7.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$- x + 2 = \pm \sqrt{9}$

Etapa 7.4.4

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 7.4.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- x + 2 = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 7.4.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- x + 2 = \pm 3$

Etapa 7.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$- x + 2 = 3$

Etapa 7.4.5.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.4.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = 3 - 2$

Etapa 7.4.5.2.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$- x = 1$

Etapa 7.4.5.3

Divida cada termo em $- x = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.4.5.3.1

Divida cada termo em $- x = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 7.4.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.5.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 7.4.5.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Etapa 7.4.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.5.3.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$x = - 1$

Etapa 7.4.5.4

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$- x + 2 = - 3$

Etapa 7.4.5.5

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.5.5.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 3 - 2$

Etapa 7.4.5.5.2

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$- x = - 5$

Etapa 7.4.5.6

Divida cada termo em $- x = - 5$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.5.6.1

Divida cada termo em $- x = - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 7.4.5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.5.6.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 7.4.5.6.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 7.4.5.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.5.6.3.1

Divida $- 5$ por $- 1$ .

$x = 5$

Etapa 7.4.5.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = - 1, 5$

Etapa 8

Exclua as soluções que não tornam $\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (2 - x) = 1 + \log_{5} (- x)$ verdadeira.

$x = - 1$