Pré-cálculo Exemplos

$\log_{5} (3 x) + \log_{5} (2 x - 1) = \log_{5} (16 x - 10)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (3 x (2 x - 1)) = \log_{5} (16 x - 10)$

Etapa 1.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1) = \log_{5} (16 x - 10)$

Etapa 1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\log_{5} (3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1) = \log_{5} (16 x - 10)$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\log_{5} (3 \cdot (2 x \cdot x) - 3 x) = \log_{5} (16 x - 10)$

Etapa 1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.1

Mova $x$ .

$\log_{5} (3 \cdot (2 (x \cdot x)) - 3 x) = \log_{5} (16 x - 10)$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{5} (3 \cdot (2 x^{2}) - 3 x) = \log_{5} (16 x - 10)$

Etapa 1.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\log_{5} (6 x^{2} - 3 x) = \log_{5} (16 x - 10)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$6 x^{2} - 3 x = 16 x - 10$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $16 x$ dos dois lados da equação.

$6 x^{2} - 3 x - 16 x = - 10$

Etapa 3.1.2

Subtraia $16 x$ de $- 3 x$ .

$6 x^{2} - 19 x = - 10$

Etapa 3.2

Some $10$ aos dois lados da equação.

$6 x^{2} - 19 x + 10 = 0$

Etapa 3.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot 10 = 60$ e cuja soma é $b = - 19$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $- 19$ de $- 19 x$ .

$6 x^{2} - 19 x + 10 = 0$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva $- 19$ como $- 4$ mais $- 15$

$6 x^{2} + (- 4 - 15) x + 10 = 0$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 4 x - 15 x + 10 = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(6 x^{2} - 4 x) - 15 x + 10 = 0$

Etapa 3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 x (3 x - 2) - 5 (3 x - 2) = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (2 x - 5) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Etapa 3.5

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $3 x - 2$ como igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $3 x - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$3 x = 2$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Etapa 3.6

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $2 x - 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.6.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$2 x = 5$

Etapa 3.6.2.2

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.6.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 3.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 3.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 2) (2 x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{2}{3}, \frac{5}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{2}{3}, \frac{5}{2}$

Forma decimal:

$x = 0.\overline{6}, 2.5$

Forma de número misto:

$x = \frac{2}{3}, 2 \frac{1}{2}$