Pré-cálculo Exemplos

$\log_{5} (x^{2} + x + 4) = 3$

Etapa 1

Reescreva $\log_{5} (x^{2} + x + 4) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{3} = x^{2} + x + 4$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $x^{2} + x + 4 = 5^{3}$ .

$x^{2} + x + 4 = 5^{3}$

Etapa 2.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$x^{2} + x + 4 = 125$

Etapa 2.3

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Subtraia $125$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + x + 4 - 125 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $125$ de $4$ .

$x^{2} + x - 121 = 0$

Etapa 2.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - 121$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 121)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 121}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 121$ .

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Etapa 2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 121}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 121$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 484}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.3

Some $1$ e $484$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{485}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{485}}{2}$

Etapa 2.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - \sqrt{485}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{485}}{2}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{1 - \sqrt{485}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{485}}{2}$

Forma decimal:

$x = 10.51135777 \dots, - 11.51135777 \dots$