Pré-cálculo Exemplos

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique $- 2 \log_{3} (x - 1)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} (x + 1) - \log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 1$

Etapa 2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$

Etapa 3

Reescreva $\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x + 1 = 3 ({(x - 1)}^{2})$

Etapa 5

Simplifique $3 ({(x - 1)}^{2})$ .

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Etapa 5.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = 3 ((x - 1) (x - 1))$

Etapa 5.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 1 = 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x + 1)$

Etapa 5.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 1 = 3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 1$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3 \cdot 1$

Etapa 5.5.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3$

Etapa 6

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x + 1 - 3 x^{2} = - 6 x + 3$

Etapa 6.2

Some $6 x$ aos dois lados da equação.

$x + 1 - 3 x^{2} + 6 x = 3$

Etapa 6.3

Some $x$ e $6 x$ .

$7 x + 1 - 3 x^{2} = 3$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$7 x - 3 x^{2} = 3 - 1$

Etapa 7.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$7 x - 3 x^{2} = 2$

Etapa 8

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$7 x - 3 x^{2} - 2 = 0$

Etapa 9

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Fatore $- 1$ de $7 x - 3 x^{2} - 2$ .

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Etapa 9.1.1

Reordene $7 x$ e $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 7 x - 2 = 0$

Etapa 9.1.2

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 7 x - 2 = 0$

Etapa 9.1.3

Fatore $- 1$ de $7 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 2 = 0$

Etapa 9.1.4

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Etapa 9.1.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 7 x)$ .

$- (3 x^{2} - 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Etapa 9.1.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2} - 7 x) - 1 (2)$ .

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Etapa 9.2

Fatore.

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Etapa 9.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 9.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 9.2.1.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 x$ .

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Etapa 9.2.1.1.2

Reescreva $- 7$ como $- 1$ mais $- 6$

$- (3 x^{2} + (- 1 - 6) x + 2) = 0$

Etapa 9.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (3 x^{2} - 1 x - 6 x + 2) = 0$

Etapa 9.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 9.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- ((3 x^{2} - 1 x) - 6 x + 2) = 0$

Etapa 9.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (x (3 x - 1) - 2 (3 x - 1)) = 0$

Etapa 9.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x - 2)) = 0$

Etapa 9.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (3 x - 1) (x - 2) = 0$

Etapa 10

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 11

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 11.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 11.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 12

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 12.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 13

A solução final são todos os valores que tornam $- (3 x - 1) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{3}, 2$

Etapa 14

Exclua as soluções que não tornam $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$ verdadeira.

$x = 2$