Pré-cálculo Exemplos

$\ln (r^{8} s^{6} \sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$

Etapa 1

Reescreva $\ln (r^{8} s^{6} \sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$ como $\ln (r^{8} s^{6}) + \ln (\sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$ .

$\ln (r^{8} s^{6}) + \ln (\sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$

Etapa 2

Reescreva $\ln (r^{8} s^{6})$ como $\ln (r^{8}) + \ln (s^{6})$ .

$\ln (r^{8}) + \ln (s^{6}) + \ln (\sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{r^{9} s^{2}}$ como ${(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (r^{8}) + \ln (s^{6}) + \ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4

Expanda $\ln (r^{8})$ movendo $8$ para fora do logaritmo.

$8 \ln (r) + \ln (s^{6}) + \ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5

Expanda $\ln (s^{6})$ movendo $6$ para fora do logaritmo.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 6

Expanda $\ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$ movendo $\frac{1}{3}$ para fora do logaritmo.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} \ln (r^{9} s^{2})$

Etapa 7

Reescreva $\ln (r^{9} s^{2})$ como $\ln (r^{9}) + \ln (s^{2})$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (\ln (r^{9}) + \ln (s^{2}))$

Etapa 8

Expanda $\ln (r^{9})$ movendo $9$ para fora do logaritmo.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (9 \ln (r) + \ln (s^{2}))$

Etapa 9

Expanda $\ln (s^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (9 \ln (r) + 2 \ln (s))$

Etapa 10

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (9 \ln (r)) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.2.1

Fatore $3$ de $9 \ln (r)$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (3 (3 \ln (r))) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (3 (3 \ln (r))) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Etapa 10.2.3

Reescreva a expressão.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + 3 \ln (r) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Etapa 10.3

Multiplique $\frac{1}{3} (2 \ln (s))$ .

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Etapa 10.3.1

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + 3 \ln (r) + \frac{2}{3} \ln (s)$

Etapa 10.3.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $\ln (s)$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + 3 \ln (r) + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Etapa 11

Some $8 \ln (r)$ e $3 \ln (r)$ .

$11 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Etapa 12

Para escrever $6 \ln (s)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$11 \ln (r) + 6 \ln (s) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Etapa 13

Combine $6 \ln (s)$ e $\frac{3}{3}$ .

$11 \ln (r) + \frac{6 \ln (s) \cdot 3}{3} + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Etapa 14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$11 \ln (r) + \frac{6 \ln (s) \cdot 3 + 2 \ln (s)}{3}$

Etapa 15

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.1

Multiplique $3$ por $6$ .

$11 \ln (r) + \frac{18 \ln (s) + 2 \ln (s)}{3}$

Etapa 15.2

Some $18 \ln (s)$ e $2 \ln (s)$ .

$11 \ln (r) + \frac{20 \ln (s)}{3}$