Pré-cálculo Exemplos

$\ln (\frac{3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}}{(x - 2) \sqrt[3]{x}})$

Etapa 1

Reescreva $\ln (\frac{3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}}{(x - 2) \sqrt[3]{x}})$ como $\ln (3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) \sqrt[3]{x})$ .

$\ln (3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) \sqrt[3]{x})$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (3 e^{5 x - 7} {(3 x + 1)}^{4})$ como $\ln (3 e^{5 x - 7}) + \ln ({(3 x + 1)}^{4})$ .

$\ln (3 e^{5 x - 7}) + \ln ({(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4

Reescreva $\ln (3 e^{5 x - 7})$ como $\ln (3) + \ln (e^{5 x - 7})$ .

$\ln (3) + \ln (e^{5 x - 7}) + \ln ({(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5

Expanda $\ln (e^{5 x - 7})$ movendo $5 x - 7$ para fora do logaritmo.

$\ln (3) + (5 x - 7) \ln (e) + \ln ({(3 x + 1)}^{4}) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 6

Expanda $\ln ({(3 x + 1)}^{4})$ movendo $4$ para fora do logaritmo.

$\ln (3) + (5 x - 7) \ln (e) + 4 \ln (3 x + 1) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 7

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (3) + (5 x - 7) \cdot 1 + 4 \ln (3 x + 1) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 8

Multiplique $5 x - 7$ por $1$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - \ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 9

Reescreva $\ln ((x - 2) x^{\frac{1}{3}})$ como $\ln (x - 2) + \ln (x^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (x - 2) + \ln (x^{\frac{1}{3}}))$

Etapa 10

Expanda $\ln (x^{\frac{1}{3}})$ movendo $\frac{1}{3}$ para fora do logaritmo.

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (x - 2) + \frac{1}{3} \ln (x))$

Etapa 11

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (x)$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (x - 2) + \frac{\ln (x)}{3})$

Etapa 11.2

Para escrever $\ln (x - 2)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\ln (x - 2) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (x)}{3})$

Etapa 11.3

Combine $\ln (x - 2)$ e $\frac{3}{3}$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - (\frac{\ln (x - 2) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (x)}{3})$

Etapa 11.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - \frac{\ln (x - 2) \cdot 3 + \ln (x)}{3}$

Etapa 11.5

Mova $3$ para a esquerda de $\ln (x - 2)$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) - \frac{3 \ln (x - 2) + \ln (x)}{3}$

Etapa 12

Para escrever $4 \ln (3 x + 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + 4 \ln (3 x + 1) \cdot \frac{3}{3} - \frac{3 \ln (x - 2) + \ln (x)}{3}$

Etapa 13

Combine $4 \ln (3 x + 1)$ e $\frac{3}{3}$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{4 \ln (3 x + 1) \cdot 3}{3} - \frac{3 \ln (x - 2) + \ln (x)}{3}$

Etapa 14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{4 \ln (3 x + 1) \cdot 3 - (3 \ln (x - 2) + \ln (x))}{3}$

Etapa 15

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{12 \ln (3 x + 1) - (3 \ln (x - 2) + \ln (x))}{3}$

Etapa 15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{12 \ln (3 x + 1) - (3 \ln (x - 2)) - \ln (x)}{3}$

Etapa 15.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\ln (3) + 5 x - 7 + \frac{12 \ln (3 x + 1) - 3 \ln (x - 2) - \ln (x)}{3}$